Построение главных осей тензора напряжений

Выбираем аксонометрическую проекцию и проводим оси x, y, z (рис 7). Выбираем масштаб. Главную ось з1 проводим через точку М (0,0,0) и через точку, А с координатами (l1, m1, n1). Главную ось з2 проводим через точку М и через точку с координатами (l2, m2, n2). Главную ось з3 проводим через точку М и через точку с координатами (l3, m3, n3).

Замечания:

Если принять n1<0 и n2<0, то ось з3 сохранит прежнее направление. Действительно, если в формулах (37) поменять знаки всех величин, стоящих в определителях, получи и те же значения направляющих косинусов l3, m3, n3.

Если принять n1>0, a n2<0, то ось з1 сохранит свое направление, а оси з2 и з3 изменят свои направления на противоположные.

Если принять n1<0, a n2>0, то ось з2 сохранит свое направление, а оси з1 и з3 изменят свое направление на противоположные.

Рисунок 7. Взаимное расположение главных осей з1, з2, з3 и осей x, y, z.

Нахождение острых углов между осями x, y, z и главными осями

Вычислить направляющие косинусы осей x, y, z в главной системе координат. Найти острые углы между осями x, y, z и главными осями.

Обозначим направляющие косинусы осей x, y, z в главной системе координат так:

(39).

Направляющие косинусы оси х в главной системе координат, т. е. lx, mx, nx, найдем по формулам:

Обратим внимание на то, что формулы (40) получаются одна из другой круговой заменой индексов 1, 2, 3. Извлекая квадратные корни, берем положительные значения lx, mx, nx.

Направляющие косинусы оси у в главной системе координат, т. е. ly, my, ny, найдем по тем же формулам (40), заменив в них все индексы х на у.

Направляющие косинусы оси z в главной системе координат, т. е. lz, mz, nz, найдем по тем же формулам (40), заменив в них все индексы х на z.

Острые углы между осями x, y, z и главными осями з1, з2, з3 обозначим и вычислит так:

(41).