Пример решения нелинейного ОДУ

Рассмотрим задачу из раздела математической физики с простейшим нелинейным ОДУ:

Известно уравнение колебаний математического маятника в дифференциальном виде, где, а длина нити маятника м. Построить график (по 10 узлам) зависимости угла отклонения от времени в течение 2 с., если известно, что в начальный момент времени t₀=0 с. угол отклонения от положения равновесия был равен, а в момент времени t₁=2 с. .

Примечание: y (t) — угол отклонения от положения равновесия в момент времени t, g — ускорение свободного падения.

Запишем задачу в математическом виде:

Данная краевая задача решается тем же алгоритмом метода стрельбы, что и линейные ОДУ.

После приведения краевой задачи к задаче Коши получим следующую систему ОДУ:

Обозначим начальные условия.

Для нахождения значения второго начального условия будем использовать функцию, описанную в пункте 3.1 (рис. 2).

В итоге получим следующее недостающее начальное условие:

После решения очередной задачи Коши с найденным начальным условием получим ответ в виде таблицы значений и графика.

Где Z и Z соответственно график искомой функции и её производной.

Решение данной задачи кончено-разностным методом невозможно, так как он подразумевает получение трехдиагональной матрицы после аппроксимации производной конечно-разностными формулами и последующее за ним решение методом прогонки. В данном случае мы получим практически не решаемую систему из 10 нелинейных уравнений.