Лекция 8. Примеры дискретных распределений

1. Биноминальное. Пусть произведено n независимых испытаний. В каждом испытании наступает либо событие А, либо соответственно с вероятностями р, 1 -р. Рассмотрим случайную величину — число появлений события, А в последовательности испытаний.

Закон распределения этой случайной величины можно записать следующим образом.

Р (= m) =, m=0,1,2,…n. (4).

Действительно, рассмотрим выражение (p + q)ⁿ =1, разложим двучлен (p + q)ⁿ по формуле бинома Ньютона. Получим.

т.е. сумма вероятностей значений случайной величины равна единице, следовательно (4) является законом распределения.

Найдем математическое ожидание:

M () = ,.

Рассмотрим случайные величины ₁, ₂, … _n, с одинаковым законом распределения :

_k =.

где k = 1,2,…n. Тогда.

= ₁ + ₂ + … + _n.

Используя свойства математического ожидания получим:

М () = М (₁ + ₂ + … + _n) = М (₁) + М (₂) +…+ М (_n) .

Найдем математическое ожидание _k, М (_k) = 0? (1 — p) + 1? p = р, тогда М () = np.

Аналогично найдем дисперсию:

D () = D (₁ + ₂ + … + _n) = D (₁) + D (₂) +…+ D (_n).

D (_k) = (0 — p)² (1 — p) + (1 — p)² p = p² (1 — p) + (1 — p)² p= p (1 — p) (p + 1 — p) = p (1 — p) = p q.

D () = n p q,.

2. Распределение Пуассона.

Пусть произведено бесконечное число испытаний. Рассмотрим случайную величинучисло появлений события А.

m = 0, 1, 2, …

Закон распределения в данном случае имеет вид:

p (=m) =.

л > 0 — параметр распределения, m = 0, 1, 2, … (5).

Покажем, что сумма вероятностей равна единице.

.

Аналогично можно показать, что математическое ожидание и дисперсия соответственно равны ,.

М () =, D () = .

Закон Пуассона называют законом редких событий.

Непрерывные случайные величины. Плотность распределения Плотность распределения вероятностей f (x) характеризует вероятность попадания случайной величины в некоторый интервал. Эта вероятность равна площади, заключенной между осью абсцисс и функцией f (x) на интервале.

f (x) =.

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

f (x)? 0.

p (a.

f (x) =.

в точках непрерывности функции f (x).

Понятие функции распределения, математического ожидания и дисперсии имеет такой же смысл, как в дискретном случае, а вычисляются соответственно по формулам (6) — (8).

(6).

M () = (7).

D () = (8).

Пример 13. Случайная величина распределена по закону, определяемому плотностью распределения вероятностей вида.

f (x) =.

Найти параметр a, F (x), M (), D () .

Параметр a найдем из свойства, интеграл разобьем на сумму трех интегралов.

Нарисуем график плотности распределения f (x) (Рис.9).

Вычислим функцию распределения, для этого рассмотрим интервалы .

х (- ?, 0) ,.

х [0, 2] ,.

х (2,) .

График функции приведен на Рис. 10.

Вычислим математическое ожидание и дисперсию:

Рис. 10.