ΠΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΈ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠΈΡ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΡ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠΈΡ.
ΠΠ°ΠΊΠΎΠ½ ΠΠ΅Π½Π΄Π΅Π»Ρ
ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Ρ k — ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π²Π°ΡΠΈΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΄Π°, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΊΠ΅. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Dn Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π½Π°Π΄ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΡΡ Ρ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠ· ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°ΡΡΡΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΏΠΎ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ. ΠΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π·Ρ Π0 ΠΏΡΠΈΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ³Π°ΡΡ (Π½Π° Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΡΠΎΠ²Π½Π΅ Π·Π½Π°ΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ), Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π² ΠΎΠΏΡΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Dn ΠΏΡΠ΅Π²ΠΎΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅Π΅ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎΠ²Π½Ρ… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
ΠΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΈ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠΈΡ. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΡ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠΈΡ. ΠΠ°ΠΊΠΎΠ½ ΠΠ΅Π½Π΄Π΅Π»Ρ (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
ΠΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΈ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠΈΡ ΠΠΎΠ»ΠΌΠΎΠ³ΠΎΡΠΎΠ²Π° ΠΈ ΠΎΠΌΠ΅Π³Π°-ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π·Ρ
ΠΡΠΎΡΡΠ°Ρ Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π·Π°. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ΠΌΡΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ, ΠΈΠ½Π°ΡΠ΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡ, ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΠΌΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ. Π Π°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ. Π ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΈ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½Ρ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠ΅ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΈ ΡΠΌΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ (Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ) ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΊΡ n. ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ ΠΈΡΡΠΈΠ½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½ΡΡΡΡΡ Π½Π°Π±Π»ΡΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ, G (Ρ ), ΡΠΌΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ (Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΎΡΠ½ΡΡ) ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ — Fn(Ρ ), Π° Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ — F (Ρ ). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π·Π° Π ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΈΡΡΠΈΠ½Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π΅ΡΡΡ F (Ρ ), Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π: G (Β·) = F (Β·).
ΠΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π·Ρ H? ΠΡΠ»ΠΈ Π Π²Π΅ΡΠ½Π°, ΡΠΎ Fn ΠΈ F Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΠΏΡΠΎΡΠ²Π»ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ²ΠΎ, ΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ±ΡΠ²Π°ΡΡ Ρ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ n. ΠΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΠ΅ΡΠ½ΡΠ»Π»ΠΈ Fn(Ρ ) > F (Ρ ) ΠΏΡΠΈ n > ?. ΠΠ»Ρ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ²Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Fn ΠΈ F ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Ρ.
ΠΠ»Ρ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ²Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΡΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΡΡ Fn ΠΈ F Π² ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΊΠ΅, Ρ. Π΅. ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ:
(1.1).
Π‘ΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΡ Dn Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠΎΠΉ ΠΠΎΠ»ΠΌΠΎΠ³ΠΎΡΠΎΠ²Π°.
ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ Dn — ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ° Fn. ΠΡΠ»ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π·Π° Π0 ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Π° ΠΈ n > ?, ΡΠΎ Fn(x) > F (x) ΠΏΡΠΈ Π²ΡΡΠΊΠΎΠΌ Ρ . ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΡ Dn > 0. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π·Π° Π0 Π½Π΅Π²Π΅ΡΠ½Π°, ΡΠΎ Fn > G ΠΈ G? F, Π° ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ sup-?|Fn(x) — F (x)| > supx|G (x) — F (x)|. ΠΡΠ° ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ G Π½Π΅ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ F. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠΈΠ΅ Π² ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Dn Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, Π²Π΅ΡΠ½Π° Π0 ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Ρ, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Dn ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠΈ Π0.
ΠΠ°ΠΊ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΠΏΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π·Ρ, ΡΠ°ΡΡΡΠΆΠ΄Π°Π΅ΠΌ ΡΠ°ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π±Ρ Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π·Π° Π±ΡΠ»Π° Π²Π΅ΡΠ½Π°. Π―ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π0 Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±ΡΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ³Π½ΡΡΠ°, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π² ΡΠΊΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠΈ Dn ΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ°Π²Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ. ΠΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°Π΄ΠΎ Π·Π½Π°ΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠ° Dn ΠΏΡΠΈ Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π·Π΅ Π: F= G ΠΏΡΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ n ΠΈ G.
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Dn ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ G = F, Ρ. Π΅. Π΅ΡΠ»ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠΈ Dn ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈ ΡΠ΅ΠΌ ΠΆΠ΅ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ G. ΠΠ½ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΠ° Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΊΠΈ n.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°ΠΊΡΠ° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠ° Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ ΡΠ²ΠΎΠ΅Π³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΡ ΠΎΡΠΈ Ρ . Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ G ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π²ΡΠ°ΡΠΈΡΡ Π² ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ [0, 1]. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Fn(x) ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΠ΄Π΅Ρ Π² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΊΠΈ ΠΈΠ· ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠΈ ΠΌΠ°Π»ΡΡ ΠΏ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠΈ Dn ΠΏΡΠΈ Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π·Π΅ Π0 ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ. ΠΡΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΡ ΠΏ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Dn (ΠΏΡΠΈ Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π·Π΅ Π0) ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Π°Ρ Π² 1933 Π³. Π. Π. ΠΠΎΠ»ΠΌΠΎΠ³ΠΎΡΠΎΠ²ΡΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ°. ΠΠ½Π° Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡ ΠΎ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠ΅ (ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΠ°ΠΌΠ° Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Dn > 0 ΠΏΡΠΈ Π0, ΠΏΡΠΈΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡ Π΅Π΅ Π½Π° Π½Π΅ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΡΡΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π±ΠΈΠ»ΠΈΠ·ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡ). Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΠΎΠ»ΠΌΠΎΠ³ΠΎΡΠΎΠ²Π° ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎΡΡΠΈ Π0 ΠΈ Π΅ΡΠ»ΠΈ G Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Π°:
(1.2).
ΠΡΠ° ΡΡΠΌΠΌΠ° ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² Maple. ΠΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π·Ρ Π0: G = F ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΊΠ΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠΈ Dn. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π³ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°:
ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Ρ k — ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π²Π°ΡΠΈΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΄Π°, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΊΠ΅. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Dn Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π½Π°Π΄ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΡΡ Ρ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠ· ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°ΡΡΡΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΏΠΎ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ. ΠΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π·Ρ Π0 ΠΏΡΠΈΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ³Π°ΡΡ (Π½Π° Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΡΠΎΠ²Π½Π΅ Π·Π½Π°ΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ), Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π² ΠΎΠΏΡΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Dn ΠΏΡΠ΅Π²ΠΎΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅Π΅ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎΠ²Π½Ρ Π·Π½Π°ΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ.
ΠΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠΏΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΉ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ, ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Fn ΠΈ F Π² ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΊΠ΅. ΠΠ½ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ Π½Π° ΡΠ°ΠΊ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΎΠΌΠ΅Π³Π°-ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ:
(1.4).
ΠΠ»Ρ Π΅Π³ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ:
(1.5).
ΠΡΠΈ ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎΡΡΠΈ Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π·Ρ Π0 ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ G ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠΈ ΠΎΠΌΠ΅Π³Π°-ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ, ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠΈ Dn, Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΡ n ΠΈ Π½Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ G.
Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π»Ρ Dn, Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΈ ΠΌΠ°Π»ΡΡ n ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ, Π° Π΄Π»Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ n ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ (ΠΏΡΠΈ n > ?) ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠΈ n. ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΡΠ½ΠΎΠ²Π° ΠΏΡΠΈΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡ Π½Π° Π½Π΅ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΡΡΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ. ΠΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡΠ»ΠΎ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½ΠΎ Π. Π. Π‘ΠΌΠΈΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠΌ Π² 1939 Π³. ΠΠ»Ρ Π½Π΅Π³ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΡΠ΅ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ. ΠΠ°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π·ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠ΅Π², ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ Π½Π° Dn ΠΈ: ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½Ρ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ Π°Π»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Ρ G? F.
Π‘ΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΉ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠΈ Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π·Ρ Π Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² Π°Π»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Ρ Π', Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΡ Ρ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ³Π½ΡΡΡ Π, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅ Π²Π΅ΡΠ½Π° Π', ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ 1 ΠΏΡΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΠ° Π½Π°Π±Π»ΡΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ.
Π‘ΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² Π²ΡΠ΅Ρ Π°Π»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ² ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΉ, Π² ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠ΅, ΠΏΡΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π΅ Π½Π°Π±Π»ΡΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½ ΠΎΠ±Π½Π°ΡΡΠΆΠΈΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΠΎΡΡΡΡΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π·Ρ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠ΅Π² ΠΠΎΠ»ΠΌΠΎΠ³ΠΎΡΠΎΠ²Π° ΠΈ ΠΎΠΌΠ΅Π³Π°-ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΊΠΈ ΠΎΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Ρ ΠΈΡ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΎΠ±Π½Π°ΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π½Π°Π±Π»ΡΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°ΡΡΡΡ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎ.
ΠΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ Π·Π½Π°ΡΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠ°, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΡΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π°Π±Π»ΡΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΡ , Π° ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½ΡΡΡΡΡ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΊΠ°, Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΡΠ½Π½ΠΎΠ΅. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΎΠΊ Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΠΏΡΠ΅Π²ΡΡΠ°ΡΡ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ. Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΆΠ΅Π»Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ.