Отношение порядка на множестве N

Пусть a, b, c .

Определение (1.11). Будем говорить, что, если.

. [1].

Теорема (1.2) (свойство линейной упорядоченности). Для любых двух натуральных чисел выполняется только одно из следующих соотношений:

.

Пусть и — такие множества, что и,. Если, то. Если же, то множества и неравномощны. В этом случае существует либо инъекция и тогда, либо инъекция и тогда. [1].

Справедливы также следующие свойства: :

Cуществуют числа, такие, что.

.

Отсюда.

.

т.е.. [1].

Так же справедливы неравенства .

Таким образом, можно утверждать, что множество построено, а операции на нём определены.

Построение кольца целых чисел

Построение кольца действительных чисел будет производиться добавлением во множество натуральных чисел недостающих элементов (нуль и отрицательные числа). Мотивом расширения множества натуральных чисел служит проблема обеспечения неограниченной возможности вычитания. На множестве эта операция ограничена, т.к. мы можем отнимать только меньшее число из большего.

Целое число 0 (нуль) вводим как мощность пустого множества, т. е.

.

Естественно считать, что для любого выполняется неравенство, а также равенства.

. [1].

Введём два биективных образа множества. Первый назовём множеством всех положительных целых чисел.

.

а второй — множеством всех отрицательных целых чисел.

. [1].

Объединив эти множества и множество, получим множество всех целых чисел:

. [1].

Подчиняя введённые числа неравенствам:

c сохранением свойства транзитивности, превращаем в линейно упорядоченное множество.

Для того, чтобы ввести арифметические операции, сначала отождествим целые положительные числа с соответствующими натуральными числами, т. е. положим:

.

Кроме того, полагаем, что.

.

Модуль целого числа a определим как целое неотрицательное число, равное, т. е. положим.

.

Теорема (1.4). Для любых имеем:

• 1) (коммутативность);
• 2) (ассоциативность);

3) (свойство нуля);

Определив сумму любых двух чисел, легко определить и их разность, сведя ее к сумме:

. [1].

[1].

Операция умножения целых чисел определяется с помощью операции умножения натуральных чисел и известного правила знаков.

Произведение целых чисел определяется следующим образом:

• 1) (коммутативность);
• 2) (ассоциативность);

• 3) (свойство единицы);
• 4) (дистрибутивность);

5) (отсутствие делителей нуля). [1].

Отметим, что множество всех целых чисел вместе с операцией сложения и умножения является кольцом. Кольцом называется всякое множество, в котором введены две операции (называемые обычно сложением и умножением). По отношению к операции сложения должны выполняться все утверждения теоремы 3. По отношению к операции умножения — условия ассоциативности и дистрибутивности. Если выполнена коммутативность умножения, то кольцо называется коммутативным; если в нем есть элемент 1, оно называется кольцом с единицей. Если же выполнено и условие (5) из теоремы 5, то оно называется кольцом без делителей нуля. [1].