Матрицы и векторы

Символьные переменные могут являться элементами матриц и векторов. Элементы строк матриц при вводе отделяются пробелами или запятыми, а столбцов — точкой с запятой, так же как и для обычных матриц. В результате образуются символьные матрицы и векторы, к которым применимы матричные и поэлементные операции и встроенные функции.

>> syms a b c d e f g h.

>> A=[a b;c d].

A =.

[ a, b].

[ c, d].

>> B=[e f; g h].

B =.

[ e, f].

[ g, h].

>> C=A*B.

C =.

[a*e+b*g, a*f+b*h].

[c*e+d*g, c*f+d*h].

>> F=A*B.

F =.

[a*e, b*f].

[c*g, d*h].

Конструирование блочных символьных матриц не отличается от числовых, требуется следить за размерами соответствующих блоков:

>> D=[C A, B C].

D =.

[ a*e+b*g, a*f+b*h, a, b, e, f, a*e+b*g, a*f+b*h].

[ c*e+d*g, c*f+d*h, c, d, g, h, c*e+d*g, c*f+d*h].

Обращение к элементам символьных матриц и векторов производится при помощи индексации, в том числе двоеточием и вектором со значениями индексов:

>> d2=D (2:).

d2 =.

[ c*e+d*g, c*f+d*h, c, d, g, h, c*e+d*g, c*f+d*h].

>> d=d2([1 3 4]).

d =.

[ c*e+d*g, c, d].

Вычисления с символьными переменными

Символьные операции позволяют находить точные значения выражений или значения со сколь угодно большой точностью. Для преобразования значения числовой переменной в символьную служит функция sym. Введем массив типа double array:

>> A= [1.3 -2.1 4.9.

6.9 3.7 8.5];

>> B=sym (A).

B =.

[13/10, -21/10, 49/10].

[69/10, 37/10, 17/2].

При переходе от числовых к символьным выражениям по умолчанию используется запись чисел в виде рациональной дроби. Возможны и другие формы представления чисел в символьном виде, которые определяются значением второго входного аргумента функции sym.

Создадим вектор-столбец:

>> c=[3.2;0.4;-2.1].

и занесем в вектор d его символьное представление.

>> d=sym (c);

Умножим матрицу B на вектор d — результат является символьной переменной, причем все вычисления проделаны над рациональными дробями.

>> e=B*d.

e =.

• -697/100
• 571/100

Использование рациональных дробей при выполнении символьных вычислений означает, что всегда получается точный результат, не содержащий погрешность округления. Убедиться в вышесказанном можно на простом примере. Установим формат long е для отображения максимально возможного числа значащих цифр для значений числовых переменных и найдем сумму чисел и .

>> format long e.

>> 1.0e+10+1.0e-10.

ans =.

1.0 e+010.

Запишем каждое из чисел в символьные переменные и снова вычислим сумму.

>> large=sym (1.0e10);

>> small=sym (1.0e-10);

>> s=large+small.

• s =
• 100 000 000 000 000 000 000/10000000000

Рациональная дробь является точным значением суммы. Разумеется, символьные вычисления требуют больших затрат компьютерных ресурсов по сравнению с обычными.

Вычисления с рациональными дробями позволяют получить значение символьного выражения с любой степенью точности, т. е. найти сколь угодно много значащих цифр результата. Для вычисления символьных выражений предназначена функция vpa:

>> c=sym ('sqrt (2)');

>> cn=vpa©.

cn =.

1.4 142 135 623 730 950 317 152 562 839 552.

По умолчанию удерживается 32 значащие цифры. Второй дополнительный входной параметр vpa служит для задания точности:

>> cn=vpa (c, 70).

cn =.

1.414 213 562 373 095 026 751 097 405 909 385 317 302 912 949 019 186 764 697 825 987 002 368.

Замечание:

Второй аргумент vpa задает удерживаемое число значащих цифр только для данного вызова vpa. Для глобальной установки применяется функция digits, во входном аргументе которой указывается требуемое количество цифр.

Важно понимать, что выходной аргумент функции vpa является символьной переменной:

>> whos cn.

Name Size Bytes Class Attributes.

cn 1×1 266 sym.

Для перевода символьных переменных в числовые, т. е. переменные типа double array, используется функция double:

>> cnun=double (cn).

cnun =.

1.414 213 562 373 095 e+000.