Число как результат счета и измерения величины. 
Натуральный ряд чисел. 
Свойства натуральных чисел. 
Особенности десятичной системы счисления

Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами Существует большое количество определений понятия «число».

Первое научное определение числа дал Эвклид в своих «Началах», которое он, очевидно, унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского (около 408 — около 355 гг. до н. э.): «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 — 524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел [6].

Первые представления о числе приобретены людьми в незапамятной древности. Они возникли из счета людей, животных, плодов, различных изделий человека и других предметов. Результатом счета являются числа один, два, три и т. д. Эти числа называются теперь натуральными (целыми) [2].

Понятием «натуральное число» в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер.

Понятие о натуральном числе является одним из простейших понятий. Его можно пояснить лишь предметным показом:

Ряд целых чисел 1, 2, 3, 4, 5, … продолжается без конца, он называется натуральным рядом [2].

Натуральные числа — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления) предметов [6]. Существуют два подхода к определению натуральных чисел, отличающиеся причислением нуля к натуральным числам.

Соответственно, натуральные числа определяются как:

• — числа, используемые при перечислении (нумерации) предметов: 1, 2, 3, … (первый, второй, третий и т. д.). Это определение общепринято в большинстве стран, в том числе и в России.
• — числа, используемые при обозначении количества предметов: 0, 1, 2, … (нет предметов, один предмет, два предмета и т. д.). Это определение было популяризовано в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Отрицательные и нецелые числа натуральными не являются.

Натуральные числа имеют две основные функции:

• · характеристика количества предметов;
• · характеристика порядка предметов, размещенных в ряд.

В соответствии с этими функциями возникли понятия порядкового числа (первый, второй и т. д.) и количественного числа (один, два и т. д.).

Долго и трудно человечество добиралось до 1-го уровня обобщения чисел. Сто веков понадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицы до бесконечности:1, 2, … ?. Натуральных потому, что ими обозначались (моделировались) реальные неделимые объекты: люди, животные, вещи.

Свойства чисел натурального ряда, а также производных от них находятся в различной периодической зависимости от порядковых номеров чисел.

Основные свойства натуральных чисел:

Коммутативность сложения.

Коммутативность умножения.

Ассоциативность сложения.

Ассоциативность умножения.

Дистрибутивность умножения относительно сложения.

Результатом сложения и умножение двух натуральных чисел всегда является натуральное число.

Если m, n, k натуральные числа, то при m — n = k говорят, что m — уменьшаемое, n — вычитаемое, k — разность; m: n = k говорят, что m — делимое, n — делитель, k — частное.

Признаки делимости натуральных чисел.

Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 2.

Натуральное число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра либо 0, либо 5.

Натуральное число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0.

Натуральное число, содержащее не менее трех цифр, делится на 4 тогда и только тогда, когда делится на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа. Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9 [6, 20].

Таким образом, натуральные числа — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления). Изучение натуральных чисел на уроках математики в начальной школе представляет для младших школьников некоторые трудности. Для того чтобы учащиеся освоили материал, необходимо развивать у них познавательную активность, этому могут способствовать уроки с использованием дидактических игр.

Десятичная система счисления — позиционная система счисления по целочисленному основанию 10. Предполагается, что основание 10 связано с количеством пальцев рук у человека.

Система счисления, нумерация — совокупность приемов представления обозначения натуральных чисел.

Формирование у ребенка представления о двузначных числах традиционно строится на основе понятия «разряд».

Понятие разряда является базовым в десятичной системе счисления. Под разрядом понимается определенное место в записи числа в позиционной системе счисления (разряд — это позиция цифры в записи числа). Каждая позиция в этой системе имеет свое название и свое условное значение: цифра, стоящая на первой позиции справа, означает количество единиц в числе; цифра, стоящая на второй позиции справа, означает количество десятков в числе и т. д.

Позиционный способ записи чисел является очень удобным и экономичным, поскольку позволяет обходиться десятью значками (цифрами) при записи всего бесконечного множества чисел. Однако сама структура системы является чисто условной, особенно для ребенка, которому мы не можем даже в начальной школе объяснить ни роль «основания» системы счисления (десятка), ни схему увеличения степени основания при «движении» по позициям справа налево, т. е. запись вида.

375 = 3 * 10² + 7 * 10″ + 5 * 10°.

Цифры от 1 до 9 называют при этом значащими, а нуль является незначащей цифрой. При этом его роль в записи двузначных и других многозначных чисел очень важна: нуль в записи двузначного (и т. д.) числа означает, что число содержит обозначенный нулем разряд, но значащих цифр в нем нет, т. е. наличие нуля справа в числе 20 обозначает, что цифра 2 должна восприниматься как символ десятков и при этом число содержит только два целых десятка; запись 23 будет означать, что число содержит 2 целых десятка и еще 3 единицы.

Данная тема играет большую роль в системе изучения нумерации в школе, а также является основой для освоения тип называемых «нумерационных» случаев сложения и вычитания, в которых действия производятся целыми разрядами, ни пример:

27 — 20 365 — 300 27- 7 365- 60 20 + 7 305 + 60 и т. п.

Безусловно, вся приведенная выше теоретическая база не может быть в доступной форме изложена дошкольнику. В связи с этим при знакомстве дошкольников с двузначными числами удобно отталкиваться не столько от символической рил рядной модели, сколько от десятичной модели двузначного числа, которую можно отразить как в предметной модели, так и в схематической, что более доступно для понимания ребенком дошкольного возраста.

Для построения десятичной модели двузначного числа удобно начинать с традиционной предметной модели — на палочках. Могут быть использованы и другие модели, но они не столь экономичны и доступны: палочки можно дать в руки каждому ребенку даже при самой стесненной материальной базе ДОУ или родителей. Не нужны и дополнительные усилия педагога для изготовления этой модели.