Исследование напряжений возле плоского горизонтального выреза

Часто детали машин и строительные конструкции имеют технологические вырезы, ослабляющие их (рис. 1). Под действием внешних нагрузок возле краев таких вырезов возникает концентрация напряжений, приводящая к возникновению трещин или больших остаточных деформаций, что является недопустимым явлением.

Рис. 1 Расчетная схема прямоугольной полосы с горизонтальным вырезом

Задач является актуальной проблемой прочности, так как аналитические решения, при условии их корректности и правильного задания дополнительных краевых условий, позволяют решать не только прямые, но и обратные задачи. Основные трудности в решении связаны с определением напряжений на линии сопряжения, совпадающей с осью х. Для решения этой задачи используем характеристическую часть сингулярного интегрального уравнения с постоянными коэффициентами A и B на отрезке [-a;a] [1]:

.

где, u, v — перемещения точек линии сопряжения;; - нормальные и касательные напряжения на линии сопряжения. напряжение сопряжение эллиптический.

В случае неограниченного решения в узлах имеем:

(1).

где А*, В*, С — постоянные.

Допустим, что на линии интегрирования перемещения принимают вид:

где ?, ?1 — некоторые постоянные.

Тогда ,.

а выражение (1) можно переписать.

.

из которого, разделяя действительную и мнимую части, получаем:

где, , — постоянные, зависящие от упругих свойств и внешней нагрузки.

Для их определения составим условия равновесия: откуда.

(2).

.

и краевое условие ;

(3).

Решая совместно (2) и (3), получаем.

Напряжения примут вид:

Касательные напряжения на линии сопряжения отсутствуют, следовательно, главное напряжение. Главное напряжение определим через максимальные касательных напряжений:

(),.

Таким образом, имеем.

(4).

Если устремить l к бесконечности, получим приближенные формулы:

(5).

Аналогично будет, если вырез рассматривать как эллиптическое отверстия с полуосями, а и b, радиус b которого стремится к нулю [2]. Определим отношение l/t, при котором отклонение напряжений, найденных по выражениям (4) и (5) не превышают заданной погрешности ?. Для этого достаточно сравнить и, откуда.

.

Например, при —; при — .

Из формул (4) и (5) видно, что на концах плоского разреза напряжения стремятся к бесконечности, хотя на самом деле концы имеют радиус, который равен h (рис. 2).

Обозначим через ?1 теоретический коэффициент концентрации напряжений по нормальным напряжениям, то есть.

.

где а1 — половина длины разреза с идеально острыми концами.

Пусть напряжения равны напряжениям на контуре эллиптического отверстия с большей полуосью 2а, при y=0. Совмещая концы контуров выреза и эллиптического отверстия (рис. 3), можно определить параметр а1.

.

Рис. 3 Схема приведения выреза с закругленными концами к эллиптическому отверстию

(6).

С другой стороны, согласно [2].

(7).

Приравняв (6) и (7), получим.

,.

Итак, для случая ограниченного решения на концах разреза выражения (4) можно переписать.

(8).

Кроме радиусов закруглений концов плоского выреза, на коэффициент концентрации влияет текучесть. В этом случае следует считать.

.

где ?Т — предел текучести.

Доказывая решения (8) на рис. 4 показаны теоретические и экспериментальные эпюры напряжений в безразмерных величинах при,. Эксперименты были проведены на модели из органического стекла при помощи лазерного интерферометра по методике, описанной в [3].

Рис. 4 Сравнение теории с экспериментом

Сравнительный анализа показал, что относительное отклонение теории от эксперимента не превышает 8% на участке. У концов выреза наблюдается существенное расхождение кривых из-за того, что в этой зоне материал пластичен, то есть эффективный (опытный) коэффициент концентрации напряжений в этой зоне должен быть равен.

.

что также согласуется с теорией.

Таким образом, можно сделать вывод, что представленные аналитические решения (4) и (8) могут быть использовано для исследования концентрации напряжений возле технологических вырезов или дефектов различного рода в деталях машин.

• 1. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. — М.: «Наука», 1968. — 512 с.
• 2. Демидов С. П. Теория упругости: Учебник для вузов. — М.: Высш. школа, 1979. — 432 с.
• 3. Беркутов В. П., Гусева Н. В., Дородов П. В., Киселев М. М. Интерферометр для определения нормальных напряжений в плоских прозрачных моделях // Датчики и системы, — № 2. — 2009. — С. 26−30.