Центрально-симметрическая метрика в 112D

Уравнения гравитационного поля Эйнштейна имеют вид:

(1).

Здесь — тензор Риччи, метрический тензор и тензор энергии-импульса; - космологическая постоянная Эйнштейна, гравитационная постоянная и скорость света соответственно.

В общем случае имеют место соотношения.

(2).

— тензор Римана, — символы Кристоффеля второго рода.

Как известно, Эйнштейн предложил в 1912;1955 гг. несколько альтернативных теорий гравитации, среди которых теория (1) получила всеобщее признание, особенно в последнее время в связи с открытием ускоренного расширения Вселенной.

Множество споров вызывала космологическая константа, введенная Эйнштейном в работе [21] для объяснения существования статической Вселенной. Однако в 1922 г Фридман получил решение, описывающие нестационарную Вселенную, на основе уравнений общей теории относительности, предложенных Эйнштейном в 1915 г, в которых. В 1929 г Хаббл экспериментально обнаружил разбегание галактик и сформулировал закон, связывающий расстояние до галактик с красным смещением. Эти результаты явились подтверждением модели Фридмана, после чего Эйнштейн опубликовал статью [22], в которой написал, что «При этих обстоятельствах следует задать вопрос, можно ли описать опытные факты; не вводячлен, явно неудовлетворительный с теоретической точки зрения» .

В настоящее же время, учитывая многочисленные данные, свидетельствующие об ускоренном расширении Вселенной, следует признать, чточлен является вполне удовлетворительным и, более того, единственным разумным объяснением наблюдаемого эффекта. Однако происхождение этого эффекта относится к одной из самых больших загадок современной физики. Действительно, это слагаемое могло бы возникнуть как следствие квантовых флуктуаций, но соответствующие оценки показывают, что существует огромное различие, составляющее 120 порядков между экспериментальной величиной и предсказанием квантовой теории гравитации. Это различие можно несколько сократить, используя различные соображения [7−8], но нельзя устранить.

Для описания материи в рамках общей теории относительности Эйнштейн и Инфельд сформулировали программу [23−24]: «Все попытки представить материю тензором энергии-импульса неудовлетворительны, и мы хотим освободить нашу теорию от специального выбора такого тензора. Поэтому мы будем иметь дело здесь только с гравитационными уравнениями в пустом пространстве, а материя будет представлена сингулярностями гравитационного поля» .

Чтобы сохранить основную идею определения метрики в теории гравитации Эйнштейна и при этом удовлетворить принципу максимальной определенности [11], мы предположим, что уравнение Эйнштейна (1) в пространствах произвольной размерности распадается на два независимых уравнения [11−12, 25−27]:

(3).

Здесь — некоторая функция, зависящая от размерности пространства. Отметим, что первым уравнением определяется метрика пространства-времени, а вторым уравнением задается распределение материи, которое соответствует этой метрике. Эта гипотеза соответствует идее о происхождении материи из гравитационного поля [23−24], но без специального предположения о наличии сингулярности метрики.

Отметим, что в модели (3) сохраняются все результаты, связанные с определением, так называемых пространств Эйнштейна [28], поскольку соответствующие метрики являются решением первого уравнения (3).

В работах [25−27] представлена модель гравитации в многомерных пространствах размерностью с метрикой.

(4).

Здесь — углы на единичной сфере, погруженной в мерное пространство. Метрика (4) описывает многие важные случаи симметрии, используемые в физике элементарных частиц и в теории супергравитации [29−30]. Такой подход позволяет охватить все многообразие материи, которую производит фабрика природы, путем выбора уравнения состояния .

Уравнение Эйнштейна в форме (3) является универсальным, поэтому обобщается на пространство любого числа измерений. Движение будем описывать уравнением Гамильтона-Якоби, которое также обобщается на любое число измерений. Вместе эти два уравнения составляют универсальную модель, описывающую движение в римановых пространствах:

(5).

(6).

Уравнения поля в метрике (4) сводятся к одному уравнению второго порядка [25−27].

(7).

В общем случае параметры модели и скалярная кривизна зависят только от размерности пространства, имеем.

(8).

Уравнение Гамильтона-Якоби в метрике (4) имеет вид.

(9).

Уравнение (9) можно проинтегрировать при некоторых предположениях, используя метод, рассмотренный в работах [25−27].