Нерешенные проблемы управления аварийным риском

Аварийный риск, в отличие от постоянного риска, связан с неопределенностью. Чтобы продемонстрировать сложность проблемы оценивания аварийного риска и различные существующие подходы, рассмотрим простейший случай. Пусть в принятой математической модели неопределенность носит вероятностный характер, а потери описываются одномерной случайной величиной (а не случайным вектором и не случайным процессом). Другими словами, ущерб адекватно описывается одним числом, а величина этого числа зависит от случая.

Итак, пусть величина потерь моделируется случайной величиной Х (в смысле теории вероятностей). Как известно, случайная величина описывается функцией распределения.

F (x) = P (X < x),.

где x — действительное число (как пишут, любой элемент действительной прямой, традиционно обозначаемой R¹ или R).

В зависимости от предположений о свойствах функции распределения F (x) вероятностные модели риска делятся на параметрические и непараметрические. В первом случае предполагается, что функция распределения входит в одно из известных семейств распределений — нормальных, экспоненциальных или иных. Однако обычно подобное предположение является мало обоснованным. Тогда необходимо применять непараметрические методы, не предполагающие, что распределение ущерба взято из того или иного популярного семейства. Обычно принимают лишь, что функция распределения F (x) является непрерывной функцией числового аргумента х.

Обсудим два распространенных заблуждения. Во-первых, часто говорят, что поскольку величина ущерба зависит от многих причин, то она должна иметь нормальное распределение. Это неверно. Все зависит от способа взаимодействия причин. Если причины действуют аддитивно (складываются), то, действительно, в силу Центральной Предельной Теоремы теории вероятностей имеем основания использовать нормальное (гауссово) распределение. Если же причины действуют мультипликативно (перемножаются), то в силу той же Центральной Предельной Теоремы теории вероятностей следует приближать распределение величины ущерба Х с помощью логарифмически нормального распределения.

Во-вторых, неверно традиционное представление о том, что погрешности измерения нормально распределены. Тщательный анализ погрешностей реальных наблюдений показал, что их распределение в подавляющем большинстве случаев отличается от гауссова [1]. Прикладники обычно думают, что математики доказали, что погрешности распределены нормально, а математики считают, что прикладники установили это экспериментально. И те, и другие ошибаются.

В экономической литературе имеется масса ошибочных утверждений. Существенная часть ошибок относится к использованию математических методов. Особенно это касается прикладной математической статистики и эконометрики. Причинам этого печального явления посвящена статья [2].

Итак, рассмотрим ситуацию, когда риск (точнее, возможная величина ущерба, связанного с риском), описывается функцией распределения F (x) = P (X < x). Обычно стараются перейти от функции, описываемой бесконечно большим числом параметров, к небольшому числу параметров, лучше всего к одному. Для случайной величины часто рассматривают такие параметры, как математическое ожидание;

медиана и, более общо, квантили, т. е. значения х = х (а), при которых функция распределения достигает определенного значения, а именно, решения уравнения F (x) = а ;

дисперсия (сигма-квадрат);

среднее квадратическое отклонение (сигма);

коэффициент вариации (среднее квадратическое отклонение, деленное на математическое ожидание);

линейная комбинация математического ожидания и среднего квадратического отклонения (например, типично желание считать, что возможные значения риска расположены в интервале: математическое ожидание плюс-минус три сигма);

математическое ожидание функции потерь, и т. д.

Этот перечень может быть значительно продолжен.

Тогда задача оценки риска может пониматься как задача оценки той или иной из перечисленных характеристик по эмпирическим данным (по выборке величин ущербов, соответствующим происшедшим ранее аналогичным случаям). При отсутствии эмпирического материала остается опираться на экспертные оценки.

Задача же управления риском может пониматься как задача минимизации той или иной из перечисленных характеристик. Тогда минимизация риска может состоять:

• 1) в минимизации математического ожидания (ожидаемых потерь),
• 2) в минимизации квантиля распределения (например, медианы функции распределения потерь или квантиля порядка 0,99 (или 0,999 999), выше которого располагаются большие потери, встречающиеся редко — в 1 случае из 100 (или крайне редко — в 1 случае из 1 000 000)),
• 3) в минимизации дисперсии (т.е. показателя разброса возможных значений потерь),
• 4) в минимизации среднего квадратического отклонения, что с чисто математической точки зрения эквивалентно предыдущей задаче минимизации дисперсии;
• 5) в минимизации коэффициента вариации;
• 6) в минимизации суммы математического ожидания и утроенного среднего квадратического отклонения (на основе известного «правила трех сигм»), или иной линейной комбинации математического ожидания и среднего квадратического отклонения (используют в случае близости распределения потерь к нормальному (гауссову) распределению как комбинацию подходов, нацеленных на минимизацию средних потерь и минимизацию разброса возможных значений потерь),
• 7) в минимизации математического ожидания функции потерь (например, в случае, когда полезность денежной единицы меняется в зависимости от общей располагаемой суммы [3], в частности, когда необходимо исключить возможность разорения экономического агента), и т. д.

Список постановок задач управления риском может быть значительно продолжен.

Обсудим семь перечисленных постановок. Первая из них — минимизация средних потерь — представляется вполне естественной, если все возможные потери малы по сравнению с ресурсами предприятия. В противном случае первый подход не всегда рационален.

Действительно, рассмотрим условный пример. У человека имеется 100 000 рублей. Ему предлагается следующее пари. Надо подбросить монету. Если выпадает «орел», то он получает 500 000 рублей. Если же выпадает «цифра», он должен уплатить 200 000 рублей. Стоит ли данному человеку участвовать в описанном пари? Если подсчитать математическое ожидание дохода, то, поскольку по условию пари каждая сторона монеты имеет одну и ту же вероятность выпасть, равную 0,5, оно равно 500 000 0,5 + (-200 000) 0,5 = 150 000. Казалось бы, пари весьма выгодно. Однако большинство людей на него не пойдет, поскольку с вероятностью 0,5 они лишатся всего своего достояния и останутся должны 100 000 рублей, другими словами, разорятся. Здесь проявляется психологическая оценка ценности рубля, зависящая от общей имеющейся суммы — 100 000 рублей для человека с обычным доходом значит гораздо больше, чем те же 100 000 руб. для миллионера.

Второй подход нацелен как раз на минимизацию больших потерь, на защиту от разорения. Другое его известное применение — исключение катастрофических аварий, например, типа Чернобыльской. При втором подходе средние потери могут увеличиться (по сравнению с первым), зато максимальные будут контролироваться. К сожалению, крайне трудно по статистическим данным делать обоснованные выводы о весьма больших значениях аргумента и соответствующих весьма малых вероятностях. На профессиональном языке: «трудно работать на хвостах». Например, иногда встречаются утверждения типа «надежность равна шести девяткам», т. е. 0,999 999. Другими словами, вероятность нежелательного исхода равна 0,1. Такую малую вероятность непосредственно по статистическим данным оценить невозможно (для этого объем выборки должен быть не менее 10 000 000). Значит, вывод получен с помощью модели, например, модели экспоненциального распределения. Хорошо известны, что выводы об обнаружении резко выделяющихся наблюдений (выбросов) крайне неустойчивы по отношению к малым отклонениям от предположений модели [4]. Поэтому и к словам типа «надежность равна шести девяткам» надо относиться осторожно.

Во втором подходе заключены еще две идеи. Первая из них — использование медианы как более адекватной характеристики «центральной тенденции», чем математическое ожидание. Дело в том, что математическое ожидание может быть смещено в большую сторону из-за наличия редких, но чрезвычайно больших значений (именно поэтому средняя (арифметическая) зарплата или средний (арифметический) доход весьма завышают доходы «среднего» работника). В математических терминах: медиана — робастная (устойчивая) характеристика центра распределения, а математическое ожидание — нет. Вторая из упомянутых идей — обеспечение защиты от разорения на «среднем» уровне достоверности — с вероятностью 0,95 или 0,99. Для этого достаточно, чтобы квантиль порядка 0,95 или 0,99 не превосходил собственных активов фирмы.

Третий и эквивалентный ему четвертый подходы нацелены на минимизацию разброса окончательных результатов. Средние потери при этом могут быть выше, чем при первом или втором подходах, но того, кто принимает решение, это не интересует. Ему нужна максимальная определенность будущего, пусть даже ценой повышения потерь. В литературе такой подход часто рекомендуют использовать при составлении портфеля ценных бумаг. Поскольку наиболее прибыльные акции (и вообще экономические решения) обычно являются и наиболее рискованными, то желание сократить риск за счет расширения ассортимента акций представляется рациональным. Это — один из частных случаев диверсификации, универсального способа понижения риска. К сожалению, при изложении третьего и четвертого подходов часто забывают про целесообразность повышения среднего дохода.

Пятый подход дает один из способов избавиться от такой забывчивости — используется не абсолютное значение среднего квадратического отклонения, а относительное. Это — аналог в теории риска общеэкономической идеи рентабельности.

Шестой подход сочетает в себе первый и третий, хотя и довольно примитивным образом. По существу проблема в том, что управление риском в рассматриваемом случае — это по крайней мере двухкритериальная задача. Желательно средние потери снизить (другими словами, математическое ожидание доходов повысить), и одновременно уменьшить показатель неопределенности — дисперсию. Хорошо известны проблемы, возникающие при многокритериальной оптимизации, и практически все они могут быть применены в теории риска, развивая шестой подход.

Наиболее продвинутый подход — седьмой. Но для его применения необходимо построить функцию потерь или ее антипод — функцию полезности. Это — большая самостоятельная задача. Обычно ее решают с помощью специально организованного эконометрического или эколого-статистического исследования. Опыт построения функций полезности по экспериментальным данным накоплен, например, в Центральном экономико-математическом институте РАН, в лаборатории проф. Ю. Н. Гаврильца. Есть и теоретические подходы. Например, в монографии [3], исходя из некоторого аксиоматического подхода, было установлено, что полезность денежных средств измеряется логарифмом их количества. Другими словами, надо анализировать не абсолютные значения, а относительные отклонения. Из системы аксиом вытекает, что потеря 1 000 руб. для лица, имеющего в реальном распоряжении 10 000 руб., столь же чувствительна, как и потеря 1 000 000 руб. для лица, распоряжающегося 10 000 000 руб.- и в том, и в другом случае речь идет о потере 10% от имеющегося состояния.

Кроме вероятностных методов моделирования риска, иногда рассматриваются методы описания рисков с помощью объектов нечисловой природы, в частности, качественных признаков, понятий теории нечетких множеств, интервальных математических и эконометрических моделей и других математических средств. Пока все эти подходы надо рассматривать как экзотические. Однако вместо статистических данных в них обычно используются оценки экспертов, так что в недалекой перспективе будем иметь два крыла теории риска — вероятностное и экспертное (в качестве аппарата использующее статистику нечисловых данных). Наше представление о современном состоянии теории и практики экспертных оценок дано в работах [5, 6].

Под использованием качественных признаков понимаем, в частности, использование терминов типа «высокий риск», «заметный риск», «малый риск» и аналогичных им. Такого рода оценки, конечно, более соответствуют обыденному сознанию, чем оценки в виде действительных чисел. Это хорошо известно в теории измерений — человеку гораздо легче сравнивать альтернативы по степени риска, чем пытаться говорить о том, что одна из них во столько-то раз лучше или на столько-то лучше. Другими словами, человеку гораздо легче работать в порядковой шкале, чем в шкалах количественных признаков — интервальной, отношений, разностей и др. [7]. Методы анализа статистических данных, измеренных в порядковой шкале, разработаны в статистике объектов нечисловой природы — сравнительно новой области прикладной математической статистики (выделена в 1970;х годах). Основные результаты статистики объектов нечисловой природы сведены вместе в серии статей [8−10].

Нечеткость, размытость, расплывчатость понятий, используемых в человеческом мышлении, отражается в т.н. теории нечетких множеств. Это направление прикладной математики активно развивается с середины 60-х годов, хотя его истоки лежат еще в апориях философов Древней Греции. Первая книга российского автора о теории нечетких множеств — наша книга [11], выпущенная в 1980 г. Полученное нами в 1970;х годах сведение теории нечетких множеств к теории случайных множеств [7, 11] носит пока лишь теоретический характер, а конкретные расчетные формулы в этих теориях различаются.

Если неопределенность носит интервальный характер, т. е. оценки рисков описываются интервалами, то естественно применить методы статистики интервальных данных (как части интервальной математики), рассчитать минимальный и максимальный возможный доходы и потери, и т. д. Ограничимся здесь ссылками на уже достаточно обширную литературу по интервальным эконометрическим методам [12 — 17].

Как известно, разработаны различные способы уменьшения экономических и экологических рисков, связанные с выбором стратегий поведения, в частности, диверсификацией. Здесь мы их не рассматриваем.

При разработке правового обеспечения методов управления промышленной и экологической безопасностью необходимо учитывать многообразие методов описания рисков. Выбор какого-либо одного определенного метода без должного обоснования может привести к неадекватному управлению риском. Для построения корректного всестороннего описания рисков могут оказаться полезны и даже необходимы экспертные оценки.