Точечные оценки законов распределения

Функции распределения описывают поведение непрерывных случайных величин, т. е. величин, возможные значения которых неотделимы друг от друга и непрерывно заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал. На практике все результаты измерений и случайные погрешности являются величинами дискретными, т. е. величинами х_i, возможные значения которых отделимы друг от друга и поддаются счету. При использовании дискретных случайных величин возникает задача нахождения точечных оценок параметров их функций распределения на основании выборок — ряда значений х_i, принимаемых случайной величиной х в n независимых опытах. Используемая выборка должна быть репрезентативной (представительной), т. е. должна достаточно хорошо представлять пропорции генеральной совокупности Х.

Оценка параметра называется точечной, если она выражается одним числом.

Задача нахождения точечных оценок — частный случай статистической задачи нахождения оценок параметров функции распределения случайной величины на основании выборки. В отличие от самих параметров их точечные оценки являются случайными величинами, причем их значения зависят от объема экспериментальных данных, а закон распределения — от законов распределения самих случайных величин.

Точечные оценки могут быть состоятельными, несмещенными и эффективными. точечный случайная величина дисперсия.

Состоятельной называется оценка, которая при увеличении объема выборки стремится по вероятности к истинному значению числовой характеристики.

Несмещенной называется оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемой числовой характеристике. Наиболее эффективной считают ту из нескольких возможных несмещенных оценок, которая имеет наименьшую дисперсию. Требование несмещенности на практике не всегда целесообразно, так как оценка с небольшим смещением и малой дисперсией может оказаться предпочтительнее несмещенной оценки с большой дисперсией. На практике не всегда удается удовлетворить одновременно все три этих требования, однако выбору оценки должен предшествовать ее критический анализ со всех перечисленных точек зрения.

Наиболее распространенным методом получения оценок является метод наибольшего правдоподобия, который приводит к асимптотически несмещенным и эффективным оценкам с приближенно нормальным распределением. Среди других методов можно назвать методы моментов и наименьших квадратов.

Точечной оценкой математического ожидания (МО) результата измерений является среднее арифметическое значение измеряемой величины.

При любом законе распределения МО является состоятельной и несмещенной оценкой, а также наиболее эффективной по критерию наименьших квадратов.

Точечная оценка дисперсии является несмещенной и состоятельной, определяется по формуле.

Более удобна для практики другая оценка распределения случайной величины Х, это — среднее квадратическое отклонение (СКО).

Оценка среднего квадратического отклонения (СКО) случайной величины х определяется как корень квадратный из дисперсии.

Соответственно его оценка может быть найдена путем извлечения корня из оценки дисперсии. Однако эта операция является нелинейной процедурой, приводящей к смещенности получаемой оценки. Для исправления оценки СКО вводят поправочный множитель k (n), зависящий от числа наблюдений n. Он изменяется от k (3) = 1,13 до k (?) ?1,03.

Оценка среднего квадратического отклонения

Полученные оценки МО и СКО являются случайными величинами. Это проявляется в том, что при повторениях серий из n наблюдений каждый раз будут получаться различные оценки Рассеяние этих оценок целесообразно оценивать с помощью СКО .

Ввиду того, что большое число измерений проводится относительно редко, погрешность определения у может быть весьма существенной. В любом случае она больше погрешности из-за смещенности оценки, обусловленной извлечением квадратного корня и устраняемой поправочным множителем k (n). В связи с этим на практике пренебрегают учетом смещенности оценки СКО отдельных наблюдений и определяют его по формуле.

т.е. считают k (n) = 1.

Иногда оказывается удобнее использовать следующие формулы для расчета оценок СКО отдельных наблюдений и результата измерения:

Точечные оценки других параметров распределений используются значительно реже.

дисперсия выборка квадратический корень.