Фрактальный гауссовский шум

В прикладной теории вероятностей броуновское движение используется в качестве модели, дающей простой способ получения белого шума.

Если положить.

(4).

то получаемая последовательность будет гауссовской последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин с,. Такая последовательность называется белым (гауссовским) шумом.

По аналогии с (4) положим.

и будем называть последовательность фрактальным (гауссовским) шумом с параметром Харста H, .

Из формулы (3) для ковариационной функции (стандартного) процесса следует, что ковариационная функция имеет следующий вид:

. (6).

Отсюда видно, что при.

. (7).

Тем самым, в случае ковариация для, и образует гауссовскую последовательность независимых случайных величин. Если же, то из (7) видно, что ковариация убывает с ростом достаточно медленно, что обычно интерпретируется, как наличие «долгой памяти», или «сильного последействия».

Отметим принципиальную разницу в случаях и .

Если, то ковариация отрицательна (,), при этом .

Если, то ковариация положительна (,), при этом .

Положительная ковариация означает, что вслед за положительными (отрицательными) значениями следует ожидать также положительные (отрицательные) значения. Отрицательность же ковариации означает, что вслед за положительными (отрицательными) значениями следует ожидать отрицательные (положительные) значения.