Тени плоских фигур

До сих пор нами рассматривались геометрические образы, у которых могли быть только падающие тени. У фигур, ограниченных плоскими отсеками, наряду с падающими тенями будут существовать и собственные, поскольку плоскость — двусторонняя поверхность.

Рассмотрим отсеки плоских фигур (треугольника и круга), соответственно параллельные плоскостям V и H. Очевидно, что при заданном направлении светового потока, неосвещенные стороны отсеков плоскостей на соответствующих проекциях будут закрыты оригиналами.

Совокупность сторон треугольника представляет собой контур собственной тени. Лучевые плоскости, проходящие через стороны треугольника, образуют призматическую поверхность, которая, пересекая плоскость V, образует на ней фигуру, равную данному треугольнику, поскольку (ABC)?V. Построение падающей тени треугольного отсека показано на рис. 14.

На основании этих построений можно сделать вывод: граница падающей тени плоской фигуры является тенью от контура собственной тени этой фигуры.

Рис. 14. Падающая тень треугольника

Рис. 15. Падающая тень круга

Множество световых лучей, проходящих через каждую точку окружности другого плоского отсека, образуют поверхность эллиптического цилиндра, которая пересекает плоскость H по окружности.

Окружность-оригинал и падающую тень круга на плоскости H можно считать параллельными сечениями светового эллиптического цилиндра. Для нахождения местоположения падающей тени следует определить действительную тень центра данного круга на плоскости H (рис. 15).

Аналогичные рассуждения можно провести для нахождения падающей тени круга, плоскость которого параллельна плоскости V (рис. 16).

Вывод: тень плоской фигуры, на параллельную ей плоскость, равна и параллельна одноименной проекции этой фигуры.

На рис. 17 дан эпюр плоскости (ABC), занимающей общее положение. В отличие от предыдущих примеров определение теневой стороны плоскости является самостоятельной задачей.

Для нахождения собственной тени плоского отсека поступим следующим образом. Возьмем случайную точку K (k, k') внутри треугольного отсека на случайной прямой, заведомо лежащей в этой плоскости. Проведем через эту точку прямую, параллельную направлению S.

Рассмотрим конкурирующие точки 1= (2'), принадлежащие стороне [AC] и проведенному лучу.

По горизонтальным проекциям 1 и 2 решаем вопрос о взаимной видимости плоской фигуры и прямой, проведенной через точку K (k, k').

Рис. 17. Определение собственной тени треугольного отсека

Поскольку точка на стороне [AC] находится ближе к наблюдателю она перекрывает точку на вспомогательной прямой. Отсюда следует вывод о видимости, показанной на эпюре.

Рис. 18. Построение падающей тени треугольного отсека

Все множество лучей освещает плоскость (ABC) со стороны, невидимой наблюдателю, в собственной тени будет находиться сторона отсека, выделенная на эпюре цветом.

На приведенном выше рисунке построена падающая тень объекта.

Пусть дана плоскость круга, параллельная плоскости V (рис. 19). Собственная тень закрыта оригиналом. Реальная часть падающей тени на плоскости V представляет собой сегмент круга.

Лучевая поверхность эллиптического цилиндра, проходящая через окружность данного круга, пересекает плоскость H по эллипсу. Поскольку эллипс — лекальная кривая ее следует строить по множеству точек, две из которых являются точками преломления и лежат на оси X. Для нахождения случайных точек можно поступить следующим образом: описать квадрат вокруг данной окружности и построить его падающие тени.

Заметим, что точка, А (а, а') одновременно принадлежит кругу и квадрату, поэтому точка аТ для эллипса является искомой. Построение еще двух случайных точек показано на чертеже.

Рис. 19. Тень круга на двух плоскостях проекций

Рассмотрим задачи, связанные с построениями собственных и падающих теней на плоских фигурах.

Задача 1.

Построить тень отрезка [MN] на плоскости (ABC).

Возможны различные подходы к решению поставленной задачи. Один из них состоит в том, что можно построить падающие тени данных оригиналов на плоскости проекций независимо друг от друга, а затем применить способ обратных лучей. На рис. 20 показаны эти построения. Далее определены точки 1 Т и 2 Т, общие для контура падающей тени треугольника и прямой, содержащей точки mT и nT.

По действительным теням 1 Т и 2 Т с помощью обратных лучей построены точки 1 и 2, а затем найдена горизонтальная проекция падающей тени отрезка [MN] на плоскость данного треугольника. С помощью линий связи на основании свойства инцидентности построены все недостающие фронтальные проекции точек.

Рис. 20. Использование обратных лучей для решения задачи

Рассмотрим другой вариант решения задачи. Поскольку в данной задаче не ставится вопрос о нахождении падающих теней оригиналов, можно воспользоваться классической задачей начертательной геометрии о пересечении прямой с плоскостью (рис .21).

Лучевая плоскость, проходящая через отрезок [MN], согласно выводам, сделанным ранее, оставит след на плоскости в виде прямой линии. Любая прямая определяется парой несовпадающих точек, которыми можно считать точки пересечения световых лучей, проходящих через концы отрезка [AB].

Для их нахождения применим алгоритм классической задачи:

• 1. проведем через световой луч фронтально-проецирующую плоскость; (луч, проходящий через точку M, заключен во фронтально-проецирующую плоскость P, а через точку N — во фронтально-проецирующую плоскость T)
• 2. построим линию пересечения данной и вспомогательной плоскости; (на эпюре показаны проекции (12), (1'2') для плоскости P и (34) и (3'4') для плоскости Т)
• 3. определим искомые точки пересечением данной и построенной прямых; (на эпюре отмечены их горизонтальные и фронтальные проекции).

Искомая тень на плоскости (ABC) — отрезок [MONO].

Рис. 21. Второй вариант решения задачи

Задача 2.

Построить тень отрезка [MN] на плоскости параллелограмма (рис. 22).

Для решения задачи применим способ обратных лучей. Построим падающие тени отрезка [MN] и параллелограмма. Поскольку отрезок [AD] и точка M принадлежат плоскости H.

а = аТ; d = dТ и m = mТ.

У падающих теней данных оригиналов есть общие точки 1 Т и 2 Т = 2ОТ, по которым с помощью обратных лучей можно определить проекции искомых точек и линии пересечения.

Рис. 22. Построение тени от одного объекта на другой

Заметим, что эту задачу также можно было решить и другим способом, изложенным в предыдущей задаче.