Запись связей и критериев оптимальности в канонической форме

Связи в форме (4.8) являются в определенном смысле каноническими. В этой форме с использованием 8-функции и функции единичного скачка h (функции Хевисайда) могут быть записаны и другие виды условий. Покажем это и вычислим для этих условий соответствующие им слагаемые Rj в функционале Лагранжа, взяв интеграл по т в выражении (4.28).

Условие (4.6) запишется как

В соответствии с (4.28) слагаемое R, в функции R, соответствующее условию (4.33),.

Изменения любой из составляющих у (t) не сглаживаются при интегрировании в (4.33) из-за наличии 8-функции, значит, независимо от других связей их нужно отнести ко второй группе и использовать условия оптимальности (4.31). То же касается условий (4.11) при t = t₀. Дифференциальное уравнение (4.9) перепишем как или

Критерий оптимальности может быть функцией от приведенных в таблице критериев вида I = F (I_V…, 1_к, 1_и). В этом случае слагаемое, соответствующее критерию I, выражается через слагаемые R_k, соот;

п

ветствующие критериям 1_к, как R_Q-^_jdF/dI_k-R_k. При этом величина.

к=1.

производной соответствует искомому оптимальному решению. В том частном случае, когда I = функция Rq =.

к к

Так как правая часть дифференциального уравнения умножается на функцию h, которая равна единице при t < т и нулю при t > т, то те переменные, которые не входят в левую часть, т. е. п (0, относятся к первой группе (если они также входят и в остальные условия задачи), Xj (t) относятся ко второй группе.

Слагаемое Rj равно интегралу по т от подынтегрального выражения в (4.35), умноженного на А,_;(т). Получим.

Обозначим.

т.

Тогда Y|/_;(0) = -jX,(i)dT, a vj/_;(t) = A._;(0- Слагаемое в этих обозначео ниях запишется как.

Аналогичным образом могут быть найдены слагаемые R для каждого вида связей и каждого типа функционалов.

В табл. 4.1 и 4.2 приведены слагаемые R₀ функции Лагранжа для различных видов критериев оптимальности и R, для различных типов связей. Там же указано, какие из переменных относятся к первой группе по отношению к данному условию. В конкретной вариационной задаче функция R состоит из слагаемого R₀ и суммы слагаемых, соответствующих каждому из ограничений.

Таблица 4.1

Критерии оптимальности и соответствующие им слагаемые в функции Лагранжа.

Функционал I —> max	Слагаемые R0	Тип слагаемого

Таблица 4.2

Основные типы связей и соответствующие им слагаемые в функции Лагранжа.

Вид связи	Слагаемые RCB	Тип слагаемого

Последовательность получения расчетных соотношений для задачи с конкретным набором условий следующая.

• 1. Критерию оптимальности и каждой из связей ставим в соответствие слагаемое Rj в обобщенной функции Лагранжа R, либо используя приведенные ниже таблицы, либо записав соответсвующее условие к канонической форме.
• 2. Выделяем переменные первой группы в каждом условии и переменные первой группы по отношению к задаче в целом (те, которые оказались в первой группе по отношению к каждому из условий задачи).
• 3. Записываем функцию R и функционал S для конкретной задачи и подставляем их в условия (4.30)—(4.32).

Эта последовательность проиллюстрирована ниже на многочисленных примерах.