Предпочтительный показатель различия

Чтобы продвинуться дальше, введем более сильное ограничение:

(VIII) Функция Fx(t) — непрерывная функция по t.

Это ограничение сильное, поскольку исключает распределения, имеющие атомы, в частности, все конечные пространства Z. (В дальнейших исследованиях мы рассмотрим последовательность конечных Z и заменим условие (VIII) на некоторую аппроксимацию.).

Поскольку статистик может сам выбирать меру близости d, введем новый показатель (назовем его «предпочтительный показатель различия»).

d1(x, y) = Fx(d(x, y)). (17).

Тогда.

. (18).

Поскольку Fx(t) — непрерывная по t функция, то определена обратная функция.

. (19).

она возрастает по, т.к. функция Fx(t) не убывает по t. Поэтому неравенство Fx(d(x, y)) < t эквивалентно неравенству.

. Тогда.

(20).

по определению обратной функции. Чтобы не усложнять излишне изложение, несколько усилим условие (VIII). (VIII') Fx(t) — строго возрастающая непрерывная по t функция, причем Fx(0) = 0.

Если выполнено условие (VIII'),.

то — тоже строго возрастающая функция, непрерывная на области своего определения, и.

.

Если t входит в область определения функции, то.

. (21).

Если, то цепочка равенств (21) верна при любом t. Если же, то.

при. Итак,.

(22).

Пример 1. Пусть.

Z = Rk, d ;

евклидово расстояние, p — мера Лебега.

Тогда.

Fx(t) не зависит от x и.

Fx(t) = F(t) = p{y: d(x, y) < t} = ck tk,.

Где.

ck — объем шара единичного радиуса в.

Rk, естественный показатель различия имеет вид.

d1(x, y) = ck dk(x, y),.

поскольку.

. (23).

Пример 2. При непараметрическом оценивании плотности в Rk часто используют ядра вида.

(24).

причем добавляют различные требования симметричности. В виде ядерных функций (3) такие ядра, как правило, представить нельзя, т.к. в (3).

функция одного числового аргумента. Если.

то функция K = K(d) постоянна на поверхности куба. Тогда.

F(t) = p{y: d(x, y) < t} = 2k tk, d1(x, y) = 2k d k(x, y). (25).

Поскольку любое расстояние в Rk, полученное с помощью некоторой нормы в Rk, функция F(t) имеет порядок tk, то всегда d1 = Cd k, где С — константа. В Rk в качестве p обычно используют меру Лебега, хотя можно рассматривать, например, меру, порожденную нормально распределенным случайным вектором. При изучении скорости сходимости ядерных оценок можно увидеть некоторые преимущества меры Лебега [9].