Разностные схемы для уравнений эллиптического типа

Этот тип задач мы рассмотрим на примере уравнения Пуассона с постоянными коэффициентами.

Построение разностной аппроксимации для уравнения Пуассона

Рассмотрим в некоторой области D с границей /" уравнение Пуассона Выберем прямоугольную сетку по правилу.

К сеточной области D_h отнесем все узлы, принадлежащие области D = D + Г (рис. 5).

Рис. 5. К построению разностной аппроксимации

Возьмем пятиточечный шаблон.

Пользуясь расположением точек в этом шаблоне, разобьем узлы области на две категории: внутренние и граничные. Узел (т, п) будем считать внутренним, если он сам и четыре соседних точки шаблона принадлежат области D_h (эти узлы обозначены символом °). Обозначим множество внутренних узлов через D. Остальные узлы назовем граничными (помечены *) и их множество обозначим через Г_Л.

Таким образом, D_h — ?>" + Г_И.

Очевидно, что разбиение узлов из D_h на внутренние и граничные зависит от выбранного шаблона.

Пусть узел (ш, и) е?)". Замену дифференциального уравнения (3.25) разностным будем осуществлять только во внутренних узлах.

Имеем.

Воспользовавшись аппроксимацией вторых производных, получим.

д⁴и д⁴и «—.

Пусть —j и —г-ограничены по абсолютной величине в D . Тогда.

дх ду

в формуле (3.27) при достаточно малых h и / можно пренебречь членами, содержащими в качестве множителей /Г и I², и мы получим искомое разностное уравнение.

где.

где u_h(x, y) — точное решение в узлах,.

д^Аи д^Аи.

При сделанных предположениях относительно —j и —, как.

дх ду

видно из (3.30), имеет место оценка

Здесь М — постоянная, не зависит от И и l = a h.

Оценка (3.31) означает, что разностное уравнение (3.28) аппроксимирует уравнение (3.25) на решение и (х, у) с погрешностью порядка 0(h²).