Эластичность производственной функции и отдача от масштаба

Предельный продукт некоторого ресурса характеризует абсолютное изменение выпуска продукта, идущего на единицу изменения расхода данного ресурса, причем измены предполагаются малыми. Для производственной функции предельный продукт i — того ресурса будет частной производной:

.

Влияние относительного изменения расхода i-того фактора на выпуск продукта, представленное также в относительной форме, показывается частной эластичностью выпуска по затратам этого продукта:

Для легкости понимания будем обозначать.

.

Частная эластичность производственной функции равна отношению предельного продукта данного ресурса к его среднему продукту.

Рассмотрим обычный случай, когда эластичность производственной функции по некоторому аргументу — это постоянная величина.

Если по отношению к исходным значениям аргументов x₁, x₂,…, x_n один из аргументов (i — тый) изменяется в один раз, а остальные станутся на прежних уровнях, то изменение выпуска продукта описывается степенной функцией:. Полагая I=1, найдем, что A=f (x₁,…, x_n), и поэтому .

В общем случае, когда эластичность — переменная величина, равенство (1) является приближенным при значениях I, близких к единице, т. е. при I=1+e, и тем более будет точным, чем ближе к нулю.

Пусть теперь затраты всех ресурсов поменялось в I раз. Последовательно применяется только что описанный прием к x₁, x₂,…, x_n, можно убедиться в том, что теперь или.

Сумма частных эластичностей некоторой функции по всем ее аргументам получила название полной эластичности функции. Вводя обозначение для полной эластичности производственной функции, мы можем представить полученный результат в виде.

Равенство (2) говорит о том, что полная эластичность производственной функции позволяет дать от масштаба числовое выражение. Пусть расход всех ресурсов немного повысится с сохранением всех пропорций (I>1). Если E>1, то выпуск продукции повысится больше, чем в I раз, а если E<1, то меньше, чем в I раз. При E=1 выпуск продукции поменяется в той же самой пропорции, что и затраты всех ресурсов (постоянная отдача).

Выделение короткого и длительного периодов при описании характеристик производства — грубая схематизация. Изменение объемов потребления различных ресурсов — энергии, материалов, рабочей силы, станков, зданий и т. д. — требует различного времени. Допустим, что ресурсы перенумерованы в порядке убывания подвижности: быстрее всего можно изменить x₁, а затем x₂ и т. д., а для изменение x_n требуется много времени. Можно выделить сверхмалый, или нулевой период, когда не может меняться ни один фактор; 1-й период, когда изменяется только x_1; 2-й период, допускающий изменение x₁ и x₂ и т. д.; наконец, длительный, или n-й период, в течении которого могут измениться объемы всех ресурсов. Различных периодов, таким образом, оказывается n+1.

Рассматривая некоторый промежуточный по величине, k-й период, мы можем говорить о соответствующей этому периоду отдачи от масштаба, имея в виду пропорциональное изменение объемов тех ресурсов, которые в этом периоде могут изменяться, т. е. x₁, x₂,…, x_k. Объемы x_{k +1}, x_n, при этом сохраняют фиксированные значения. Соответствующий этому показатель отдачи от масштаба равен e₁ +e₂ +…+e_k.

Увеличивая период, мы добавляем к этой сумме еще и слагаемые, пока не дадутся значения E для длительного периода.

Поскольку производственная функция возрастает по каждому аргументу, все частные эластичности e₁положительны. Отсюда следует, что чем продолжительнее период, тем больше отдача от масштаба.