Доказать теорему о среднем для тройного интеграла

Теорема о среднем: Если функция.

непрерывна в замкнутой области V, то в области V существует, по крайней мере, одна точка, в которой значение функции.

.

Доказательство: Если функция непрерывна в замкнутой области S, то этой области существуют величины m и M, являющиеся соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции, то есть или .

Следовательно, существует некоторое среднее значение функции .

Отсюда следует, что среднее значение функции определится из выражения, откуда .

Построить область интегрирования

.

Решение

Внутренний интеграл берется в пределах от.

до .

Первая кривая парабола, с вершиной в начале координат и концы параболы направлены вверх. Вторая кривая окружность радиус которой равен и центр расположен в начале координат. Границы по у определяются внешними пределами. Построим область интегрирования, при условии, что. Область интегрирования (см. рисунок) заштрихована.

Вычислить

Решение .

Вычислить

.

Решение

Область интегрирования расположена между двух пересекающихся парабол (см. рис.). Параболы пересекаются в точках .

Выберем порядок интегрирования сначала по х вдоль прямой от, затем по у от 0 до 1.

В результате получаем

интеграл область интегрирования.

.