Связь между продольными и поперечными составляющими ЭМП

Волновое число k ЭМВ, распространяющейся в направляющей системе вдоль оси z при наличии продольных составляющих векторов поля целесообразно разложить на поперечный (kS) и продольный () волновые коэффициенты.

Из векторных соотношений получаем:

. (2.1).

Если потери в направляющей системе малы, то (2.1) запишется в виде:

. (2.2).

Волновые уравнения для поперечных составляющих (то есть векторы E и H соленоидальны, а следовательно эти волны поперечны) ЭМП имеют вид:

;, (2.3).

где — оператор Гамильтона:

.

В линиях передачи удобно от векторных волновых уравнений перейти к скалярным для продольных и поперечных составляющих. При этом оказывается, что достаточно решить эти уравнения только для продольных составляющих Еz и Hz, поскольку поперечные составляющие Е и H в направляющих системах являются однозначными функциями продольных.

Для вывода соотношений между продольными и поперечными составляющими ЭМП векторы поля и оператор набла разложим на продольную и поперечную составляющие:

;;. (2.4).

Найдем проекции уравнений Максвелла в комплексной форме на поперечную плоскость:

;. (2.5).

Представим ротор с учетом (2.4) в виде:

.

откуда следует:

(2.6).

где индекс при grad означает, что дифференцирование производится только в поперечной плоскости. Аналогичное соотношение получается для :

.

С учетом (2.6) уравнения (2.5) запишутся в виде:

;

. (2.7).

Если второе уравнение (2.7) умножить векторно на, то получим (при двойном умножении поперечного вектора на орт он поворачивается в поперечной плоскости на 180). Выразим произведение :

и подставим его в первое из уравнений (2.7) и чтобы избавится от дробей домножим на; тогда:

.

Учитывая (2.1), получаем выражение для поперечной электрической составляющей электромагнитного поля:

. (2.8).

Аналогично получается для магнитной составляющей:

. (2.9).

Поперечные составляющие поля пропорциональны градиентам Еz и Hz, определяемым в поперечной плоскости. По аналогии можно утверждать, что Еz и Hz являются потенциальными функциями Е и H.

В скалярной форме (2.8) — (2.9) в декартовой системе координат имеют вид:

;

;

;

. (2.10).

Аналогичным образом выводятся соотношения для поперечных составляющих ЭМП произвольных криволинейных систем координат.

Таким образом, при расчете ЭМП в направляющей системе сначала решают волновые уравнения для продольных составляющих, а затем при необходимости находят поперечные составляющие по (2.10).

Обычно для основных типов волн часть слагаемых в (2.10) отсутствует.