Лекция 14. Изменение шага в многошаговых методах

ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Показать, как можно на основе так называемого вектора Нордсика, не прибегая к задаче интерполяции, эффективно изменять шаг интегрирования в процессе численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Сущность проблемы изменения шага в многошаговых методах сводится к следующему.

В текущий момент времени в памяти компьютера хранятся вычисленные значения решения и умноженные на значения его производной в моменты времени. Обозначим их вектором.

.

Если в момент времени принимается решение об изменении шага интегрирования, т. е.

.

где, то для выполнения шага интегрирования многошаговым методом необходимы предшествующие значения решения и значения его производной в моменты времени. Эти значения образуют вектор

.

причем только. Остальные компоненты вектора должны быть перевычислены. Использование для этой цели интерполяционной процедуры может потребовать значительных вычислительных усилий.

Имеется другой путь. Введем так называемый вектор Нордсика, который для значений временного шага и имеет вид.

.

.

Заметим, что.

.

так как эти величины относятся к одному и тому же моменту времени. Следовательно, значения векторов и связаны простым соотношением.

.

или в компактной форме.

.

где — диагональная матрица.

С другой стороны, вектор Нордсика может быть определен посредством следующего линейного преобразования переменных:

.

где — невырожденная матрица преобразования переменных линейного многошагового метода.

Объединение введенных матричных преобразований приводит к линейной системе.

.

из которой для заданного вектора можно найти искомый вектор. Так как матрица имеет невысокий порядок, то такая процедура перехода от к оказывается достаточно эффективной.

Рассмотрим, как строится матрица преобразования переменных многошагового метода на примере явного метода Адамса третьего порядка. В этом случае.

.

При построении матрицы воспользуемся тем свойством, что явный метод Адамса третьего порядка позволяет найти точное решение, описываемое полиномом третьей степени.

.

Очевидно, что.

.

Полагая величину постоянной на трех шагах, выберем.

,.

и вычислим из соотношений для, зна-чения.

:

.

Решим эту систему относительно коэффициентов :

Подставляя значения коэффициентов в соотношения для, нетрудно найти, что.

В итоге связь вектора Нордсика явного метода Адамса третьего порядка с вектором имеет следующий вид:

.

Это преобразование переменных имеет место также для неявного метода Адамса четвертого порядка. Действительно, неявный метод Адамса четвертого порядка является трехшаговым методом и для него векторы и такие же, как и для явного метода Адамса третьего порядка.

Наконец, в случае метода Гира третьего порядка (он является трехшаговым) векторы и соответственно равны.

Действуя по аналогии, нетрудно получить, что.

.

В заключение подчеркнем, что для любого многошагового метода можно построить матрицу преобразования переменных. В свою очередь, привлечение матриц и позволяет эффективно перевычислять вектор при изменении шага интегрирования.

Сделаем ряд практических замечаний по проблеме выбора шага.

Замечание 1. При оценке погрешности интегрирования многошагового метода порядка по формуле необходимо вычислить значение. Это легко сделать, используяю компоненту вектора Нордсика на двух соседних шагах:

.

Погрешность расчета находится следующим образом:

.

Замечание 2. При изменении шага интегрирования локальная погрешность оценивается по формуле.

.

Из этого соотношения легко найти параметр :

.

где — допустимая величина локальной погрешности.