Методы решения уравнений и неравенств с модулем

Типы уравнений (неравенств) и методы их решения:

I. Простейшие — уравнения и неравенства вида.

|f (x)| = a, |f (x)| a,.

где, а — любое число.

При решении простейших уравнений и неравенств исходим из определения модуля, как расстояния от нуля до числа, выраженного в единичных отрезках.

• 1. Рассмотрим уравнения вида |f (x)| = a:
  • а) Если, а < 0, то решений нет, т.к. |f (x)| 0;
  • б) Если, а = 0, то |f (x)| = 0 и f (x) = 0.

Рис. 1.

в). Если |f (x)| = a, (рис. 1).

• 2. Рассмотрим неравенства вида |f (x)| < а ():
  • а) Если, а < 0, то неравенство примет вид |f (x)| < а < 0. Решений нет, т.к. |f (x)| 0;
  • б) Если, а = 0, то |f (x)| < 0. Решений нет, т.к. |f (x)| 0;
  • (Если неравенство |f (x)|, то |f (x)| = 0, т.к. |f (x)| 0)

Рис. 2.

в) Если a > 0: (рис. 2).

Решение неравенства — множество значений f (х) «между» числами, а и — а:

двойное неравенство — a < f (x) < a или (если f (x) — сложно задана).

• 3. Рассмотрим неравенства вида |f (x)| > а ():
  • а). Если, а < 0, то неравенство примет вид |f (x)|, а a;
  • б). Если, а = 0, то |f (x)| > 0. Тогда, т.к. |f (x)| 0.
  • (|f (x)|0. Решение: (см. выше)).

Рис. 3.

в) Если a > 0: (рис. 3).

|f (x)| > a Решение неравенства: множество значений х «за» числами, а и — а.

Частные случаи.

|f (x)| = f (x) f (x)? 0 Решение уравнения — решение неравенства.

|f (x)| = - f (x) f (x)? 0.

|f (x)|=|g (x)|.

II. По определению модуля.

Если в уравнении или неравенстве один модуль и функция (|f (x)| * g (x)), то решаем по определению модуля:

|f (x)|=.

модуль неравенство единичный нуль Для этого нужно рассмотреть два случая, раскрывая модуль, в зависимости от знака подмодульного выражения. Изменения происходят только в части, содержащей модуль.

Частные случаи.

Данное равенство возможно, только если. Тогда:

Только для уравнений, в которых g (x) проще f (x).