Температурное поле непрерывного плоского источника. 
Нагрев полуограниченной среды постоянным потоком тепла

Пусть в плоскости х' = const в момент времени t' = 0 начинает непрерывно действовать плоский источник тепла с мощностью W на единицу площади. Выберем для краткости записи х' = 0, т. е. поместим начало координат в плоскость, где находится источник. За время dt' этот источник выделяет количество тепла, равное q = Wdt' (на единицу площади). Для нахождения температурного поля, создаваемого этим источником, проинтегрируем формулу (3.39) по t' от 0 до V.

Сделаем замену переменных: х² / [4а (/ — /')]= а². Тогда: — =х/(2a a), dt' = x~da/(2аа), пределы интегрирования: /' = 0 -> а = х/(2[at), t' = t -* а = °°, и формула принимает вид:

Интегрируем по частям. Обозначим: м = е. Тогда.

du = —2ае~^а da, v = — 1 / а, и, учитывая, что рса = А, получаем:

Первый интеграл в скобках справа — это интеграл Пуассона. Раскрывая скобки и сравнивая полученный результат с формулой для функции ierf находим:

Эта формула определяет температурное поле непрерывного плоского источника в неограниченной среде.

Рассмотрим теперь полуограниченную среду (это может быть большой участок грунта с ровной поверхностью, стена большой толщины, толстая пластина и т. п.), нагреваемую постоянным тепловым потоком с плотностью мощности.

W = const (см. рис.). Считая каждую точку нагреваемой поверхности источником тепла, мы можем применить полученный результат для определения температурного поля в этой среде. Надо лишь учесть, что, в отличие от неограниченной среды, тепло будет распространяться только в направлении х > 0, поэтому «эффективность» нагрева будет в два раза выше, чем если бы тепло распространялось в обе стороны, следовательно, формула, определяющая температурное поле в полуограниченной среде, отличается от формулы для неограниченной среды множителем 2: