Топологические матрицы графа

матрица граф операция уравнение.

Матрица соединений

Матрица соединений (инциденций) А — это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа (ЗКТ) для узлов.

Строки этой матрицы соответствуют узлам, столбцы — ветвям. Элементы а_ij матрицы, А определяются следующим образом:

a_ij=1, если ветвь j соединена с узлом i и направлена от узла;

a_ij=-1, если ветвь j соединена с узлом i и направлена к узлу;

a_ij=0, если ветвь j не соединена с узлом i.

Число строк матрицы, А равно числу независимых узлов g=q-1.

Матрица сечений

Матрица сечений D — это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа (ЗКТ) для сечений. Строки матрицы D соответствуют сечениям, столбцы — ветвям.

Элемент d_ij матрицы D=[d_ij] определяется следующим образом:

d_ij=1, если ветвь j содержится в сечении i и направлена согласно с направлением сечения;

d_ij=-1, если ветвь j содержится в сечении i и направлена противоположно направлению сечения;

d_ij = 0, если ветвь j не содержится в сечении i.

Если матрица D составлена для главных сечений, то ее называют матрицей главных сечений. При этом за положительное направление сечения обычно принимают направление ветви дерева данного сечения. Число строк матрицы D равно числу независимых сечений g.

Закон Кирхгофа для сечений в матричной форме записывают следующим образом (ЗКТ):

(3.3).

Если матрицу напряжений ветвей дерева (ребер) обозначить через U_g, то.

(3.4).

т.е. напряжения ветвей схемы, определяют через напряжения ветвей дерева (ребер).

Если ветвям дерева присвоены первые номера, то матрица главных сечений может быть разложена на две подматрицы:

D=[1 F], (3.5).

где 1 — единичная подматрица порядка q-1, столбцы которой соответствуют ребрам;

F — подматрица, столбцы которой соответствуют ветвям связи (хордам).