Теория массового обслуживания

Системой массового обслуживания (СМО) называется любая система, предназначенная для обслуживания каких-либо заявок (требований), поступающих на нее в случайные моменты времени. Примерами СМО могут служить: телефонная станция, бюро ремонта, билетная касса, ЭВМ.

Теория массового обслуживания занимается изучением случайных процессов, протекающих в СМО.

Любое устройство, непосредственно занимающееся обслуживанием заявок, называется каналом обслуживания.

СМО делятся на одноканальные и многоканальные.

Различают СМО с отказами, когда заявка, пришедшая в момент, когда каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем в его работе не участвует.

Различают СМО с очередью, когда заявка, пришедшая в момент занятости канала, становится в очередь и ждет, когда один из каналов освободится. Число мест в очереди m может быть ограниченным или неограниченным. При m = 0 СМО с очередью превращается в СМО с отказами.

Очередь может быть ограниченной не только по количеству стоящих в ней заявок (длина очереди), но и по времени ожидания.

— «СМО с нетерпеливыми клиентами».

СМО с очередью различаются по дисциплине обслуживания:

• 1) заявки обслуживаются в порядке поступления;
• 2) некоторые заявки обслуживаются вне очереди — «СМО с приоритетом».

Аналитически СМО наиболее легко исследовать, если все потоки событий, переводящие ее из одного состояния в другое, — простейшие (стационарные пуассоновские). Это значит, что: 1) интенсивность потока становится постоянной (свойство стационарности), 2) каждое событие появляется независимо от того, что и когда произошло до него (свойство отсутствия последствия), 3) вероятность попадания на малый интервал времени двух и более заявок пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания на него одной заявки (свойство ординарности).

В этом случае интервалы времени между событиями в потоках имеют показательное распределение с интенсивностью потока q.

Поток обслуживания заявок является простейшим, если время обслуживания заявки Т — случайная величина, имеющая показательное распределение. Параметр этого обслуживания.

z = 1/ t^., где t^. — среднее время обслуживания клиента.

При выполнении некоторых условий для простейших потоков существует финальный стационарный режим, при котором характеристики процесса не зависят от времени.

Рассмотрим две основные задачи ТМО.

1. Многоканальная СМО с отказами (задача Эрланга).

Задача Эрланга описывает поведение СМО с отказами (в случае, когда все каналы заняты, клиент выходит из СМО).

Рис. 6.

Состояния СМО:

• 1) S₀ — СМО свободна;
• 2) S1 — занят только 1 канал;
• к) Sk — занято k каналов, (n-k) каналов свободны;

n) S_n — заняты все n каналов.

В стационарном режиме финальные вероятности определяются формулой ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ СМО.

1) Среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени.

N = q (1 — pn). (6.15).

2) Вероятность обслуживания поступившей заявки.

Q = A /q. (6.16).

3) Вероятность отказа поступившей заявки.

^pотк = ^pn. ⁽⁶¹⁷⁾

4) Среднее число занятых каналов.

K = r * (1 — pn). (6.18).

ПРИМЕР В гараже — ремонтная база с четырьмя боксами. На нее обращается примерно 2 машины в день. Среднее время обслуживания t^ = 1 день. В случае, когда все боксы заняты, вновь прибывшая машина покидает гараж. Найти финальные вероятности системы и ее характеристики.

ЗАДАЧА В стоматологическом кабинете работают два врача. В холле.

3 кресла для ожидания. Поток посетителей — 4 человека в час, среднее время обслуживания одного больного — 0,5 часа. Найти количество больных, которые не были обслужены в стоматологическом кабинете потому, что все места в холле на момент их прибытия были заняты.