Нормальный закон распределения

К случайным явлениям, которые подчиняются нормальному закону распределения, можно отнести явления, представленные:

• — ошибками измерений производственных параметров;
• — распределением технологических погрешностей изготовления;
• — ростом и весом большей части биологических объектов и т. д. [1]

Нормальное распределение является законом распределения вероятностей непрерывной случайной величины, описываемым посредством применения дифференциальной функциеи (3):

(3).

Где:

a — математическое ожидание случайной величины;

— среднее квадратичное отклонение нормального распределения.

График дифференциальной функции нормального распределения именуется нормальной кривой (кривая Гаусса) (рисунок 1). [3].

Рисунок 1 Кривая Гаусса Совокупность свойств нормальной кривой (кривой Гаусса) можно описать посредством следующих постулатов:

• — кривая является симметричной относительно прямой x = a;
• — нормальная кривая располагается над осью X, т. е. при любом значении X функция f (x) является положительной;
• — ось 0_x — горизонтальная асимптота графика;
• — когда x = a функция f (x) имеет максимум, который выражается соотношением (4):

(4),.

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины, которая распределена нормально относительно ее математического ожидания, не превышает среднее квадратичное отклонение, равняется 0,6826.

Вероятность того, что значение абсолютной величины отклонения случайной величины, которая распределена нормально относительно ее математического ожидания, не превышает удвоенное среднее квадратичное отклонение, равняется 0,9544.

Вероятность того, что значение абсолютной величины отклонения случайной величины, распределенной нормально относительно ее математического ожидания, не превышает ее утроенное среднее квадратичное отклонение, равняется 0,9973. [1].

Совокупность указанных вероятностей именуется «правилом трех сигм».

Когда случайная величина распределена нормально, величина абсолютного ее отклонения относительно математического ожидания не превышает утроенное среднее квадратическое отклонение.

Изменение величины параметра a (математического ожидания случайной величины) не изменяет форму нормальной кривой, а приводит лишь к ее смещению вдоль оси X: вправо, если a возрастает, и влево, если a убывает. [4].

При a=0 нормальная кривая симметрична относительно оси ординат.

Нормальное распределение с произвольными параметрами б и в, т. е. описываемое дифференциальной функцией (5) именуют общим нормальным распределением.

(5).

Нормальное распределение с параметрами б = 0 и в = 1 называют нормированным распределением (рисунок 2). В нормированном распределении дифференциальная функция определяется соотношением (6):

(6).

Рисунок 2 Нормированная кривая Интегральная функция общего нормального распределения определяется соотношением (7), интегральная функция нормированного распределения — (8). [5].

(7),.

(8),.

Где: