Спектральная плотность мощности

Преобразование Фурье от автокорреляционной функции имеет большое значение для характеристики частотных свойств стационарных случайных процессов. Это преобразование называется спектральной плотностью мощности процесса, так как оно определяет долю общей мощности (среднего квадрата флуктуации), связанную со спектральными компонентами в каждом интервале частот. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим фильтр того же типа, что на рис. 5.2, но физически нереализуемый, имеющий узкую полосу пропускания Д/ и среднюю частоту/(рис. 5.3).

Рис. 5.3. Схема фильтра для определения частотного состава стационарного процесса в узкой полосе вблизи f.

Изменение частоты в узкой полосе (нижний график на рис. 5.3) можно записать следующим выражением.

Подсчитаем средний квадрат процесса на выходе фильтра. Используя обратное преобразование Фурье.

получим.

Подставляя ^(т) в (5.8) и (5.9), для достаточно узкой полосы находим

Итак, мы можем интерпретировать К_хх как функцию плотности, при;

/2.

чем J K^CiOch) есть доля среднего квадрата процесса х, обусловленная Л.

частотными компонентами между/j и/₂. Определенная таким образом функция плотности содержит компоненты как при положительных, так и при отрицательных частотах. В случае вещественных процессов /^(т) действительна и четна, следовательно, K_xx(f) также действительна и четна, т. е. структура спектра одинакова для положительной и отрицательной полуосей.

Поясним, почему мы связываем плотность К_хх с мощностью процесса х. Во многих важных случаях можно принять, что стационарный процесс обладает также свойством эргодичности. Эргодический процесс — это такой стационарный процесс, для которого среднее по времени от квадрата любой реализации равно (с вероятностью единица) среднему квадрату процесса (при усреднении по множеству):

Выражение в левой части (5.11) представляет собой мощность детерминированного сигнала x (t, со). В большинстве задач, рассматривающих случайные процессы, предположение эргодичности не используется.

Важным исключением являются задачи, связанные с использованием результатов измерения сигналов, ограниченных во времени, в качестве оценок спектральной плотности мощности. Термин «спектральная плотность мощности» применительно к произвольному стационарному в широком смысле процессу соответствует преобразованию Фурье от квадрата амплитуды процесса. Особым стационарным процессом, часто используемым как приближенная модель реального процесса, является белый шум, характеризуемый постоянной спектральной плотностью мощности, т. е. K_xx(f) = N₀ (Вт/Гц). Автокорреляционная функция этого процесса есть К_хх(т) = N₀5/т. Поэтому различные отсчеты x (t_x) и x (t₂), сколь бы они ни были близкими во времени, некоррелированны. Заметим, что средний квадрат такого процесса бесконечен.