Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики

Так как на практике почти всегда приходится решать уравнения Максвелла (1) — (4) в кусочно-непрерывных средах, то граничные условия следует рассматривать как неотъёмлемую часть уравнений Максвелла (1) — (4). максвелл электрический стокс магнитостатистика В случае стационарных электрических и магнитных полей (и система уравнений Максвелла (1) — (4) распадается на систему.

уравнений электростатики:

и уравнений магнитостатики:

а граничные условия остаются те же.

Формула Остроградского — Гаусса.

Пусть f (x, y, z) — некоторая функция, а S — замкнутая поверхность, ограничивающая объём V. На отрезке 1−2 (рис. 4), параллельном оси X, f — является функцией одного аргумента x. Интегрируя вдоль этого отрезка получим:

где и — значения функции f на концах рассматриваемого промежутка.

Построим теперь бесконечно узкий цилиндр, одной из образующих которого является отрезок 1 2. Пусть dу — площадь поперечного сечения его (величина положительная). Умножая предыдущее соотношение на dу. Так как dуdx есть элементарный объём dV, заштрихованный на рисунке, то в результате получится:

где dV — часть объёма V, вырезаемого из него поверхность цилиндра. Пусть dS1 и dS2 элементарные площадки, вырезаемые тем же цилиндром на поверхности S, а 1 и 2- единичные нормали к ним, проведенные наружу от поверхности S. Тогда:

dу = d2 2х = - d1 1х, а поэтому:

или короче: где поверхностный интеграл распространён на сумму площадок dS1 иdS2. Весь объём V можно разделить на элементарные цилиндры рассматриваемого вида и написать для каждого из них такие же соотношения. Суммируя эти соотношения, получим:

Интеграл справа распространён по всему объёму V, справа — по поверхности S, ограничивающей этот объём. Аналогичные соотношения можно написать для осей Y и Z.

Возьмём теперь произвольный вектор и применим к его компонентам соотношение. Получим:

и аналогично для компонент Ay и Az. Складывая эти соотношения, найдём:

или:

Эту формулу Остроградского — Гаусса можно также записать в виде:

Смысл её заключается в том, что полный поток вектора через некоторую поверхность S равен суммарной алгебраической мощности источников, порождающих векторное поле.

Если объём V бесконечно мал, то величина div внутри него может считаться постоянной. Вынося её за знак интеграла и переходя к пределу V> 0, получим:

Предельный переход надо понимать в том смысле, что область V должна стягиваться в точку, т. е. размеры этой области должны беспредельно уменьшаться по всем направлениям. Эти рассуждения показывают, что величина, стоящая в правой части вышеуказанной формулы, не зависит от формы поверхности S, стягиваемой в точку. Поэтому это выражение можно принять за исходную формулировку дивергенции. Такое определение обладает преимуществом, потому что оно инвариантно, т. е. никак не связано с выбором координат.