Исследование сходимости и порядков сходимости некоторых семейств сингулярных интегралов

Настоящая диссертация посвящена исследованию сходимости и скорости сходимости некоторых классов, так называемых, сингулярных интегралов. При этом термин «сингулярный интеграл», в отличие от «особых» интегралов, употребляется применительно к интегральным операторам, широко использующимся в теории рядов Фурье, теории ортогональных рядов и в общей теории функций (см. Ш, [2], [3], [24] и[251) •.

Одним из основных направлений классической конструктивной теории функций является построение простейших линейных агрегатов, приближающих функции из данного класса в различных фиксированных точках, или же в нормах рассматриваемых пространств.

К числу таких линейных агрегатов относятся интегралы вида.

Л О. где — приближаемая функция, (ci)g) — некоторый конечный или бесконечный промежуток вещественной оси, У>0- вещественный параметр, а K^Cijo:) — функция двух переменных { и^. зависящая от параметра ^ и обладающая некоторыми характерными свойствами.

Интегралы вида (0.1) в теории функций называются сингулярными, а функция Х^ЙзЭс) — ядром сингулярного интеграла. Это название, видимо, связано с тем, что в конкретных случаях ядра неограниченно растут при в точке «t= ос .

Первые результаты, относящиеся к вопросам сходимости интегралов (0.1) к значениюf (а) при фиксированном X и при были получены еще в 1909 году А. Лебегом (см. напр. [24], стр.261), который исследовал сходимость в точках непрерывности суммируемой функции |(х). Отметим, что эквивалентное утверждение было получено и Хааром (см. 1]). В дальнейшем П.И.Романовский[28] исследовал вопрос о представлении суммируемой функции сингулярным интегралом (0.1).в, так называемых, d — точках, т. е. в точках, в которых она является производной своего неопределенного интеграла, а Д. К. Фаддеев — в ее точках Лебега, т. е. в таких точках X, в которых W.

Указанные результаты вошли в фундаментальные монографии по теории функций и функционально^ анализу и были в дальнейшем обобщены и развиты во многих направлениях (см. l-З],[l3], [24−25]). Проблемы сходимости последовательностей сингулярных интегралов сыграли важную роль и в создании нового направления в конструктивной теории функций, связанного с теоремами П. П. Коровкина об условиях сходимости последовательностей линейных положительных операторов (см. 18]).

Следует отметить, что после работ П. И. Романовского и Д. К. Фадцеева теория сингулярных интегралов обогатилась целым рядом оригинальных работ советских математиков. Обобщения этих теорем на интегралы Данжуа и другие теоремы о сходимости таких интегралов были получены В. Г. Челидзе и А. Г. Джваршейшвили (см. 35], стр.224−234). Сходимость интегралов (0.1) к функции из Zp (a.)g) в точках Лебега была исследована Б. И. Коренблюмом.

117] В работах С. Б. Топурия изучались сингулярные интегралы по 1 — мерной сфере (см. 15]), где имеется и соответствующая библиография).

Важные результаты, относящиеся к проблемам сходимости сингулярных интегралов типа (0.1) в обобщенных с£ - точках, в точках Лебега данного порядка и в норме пространства L^ были получены в работах Р.Г.Мамедова[19−231. При этом интегралы (0.1) исследованы Р. Г. Мамедовым и в случаях, когда условия накладываются на мажоранту ядра, причем, впервые сформулированы и решены задачи о скорости (порядках) сходимости.

Теоремы о сходимости сингулярных интегралов с бесконечными пределами интегрирования, обобщающие классические результаты о сингулярных интегралах типа Фейера, приведенные в[2], получены в работе А.С.Джафарова[141 .

Наконец, отметим еще работы[5],, [Дб], посвященные нахождению порядков сходимости различных сингулярных интегралов.

Приведем один из наиболее общих результатов о порядке сходимости интегралов (0.1) при &=-«>, ё = 00.

ТЕОРЕМА. (Р.Г.МамедовГ191). Пусть и неотрицательная функция K^Go^D удовлетворяет условиям: 1 оо v.

ОС б) при фиксированных^Х и X она возрастает по i в промежутке и убывает в [эс.?оо) — в) при некотором фиксированном [|V О и некотором малом ^ >0 •'.

Д U-xf-t^G^d-t⁰ x-Sl г) при фиксированном X и при для любого ^>0 л где О^о^ ^ /ч/ - д) при фиксированном X и при.

Если при данном значении X и при функция удовлетворяет условиям.

4v л лу i v со о где ^(ос) и Н'&О некоторые конечные величины, то при ^ (Л О.

В работе[19] без доказательства отмечено, что в правой части условий ('") можно заменить О (г) на 0 (pfk)), где.

— некоторая функция, стремящаяся к нулю при h-*o В работе Р.Г.Мамедова[22*] доказано и обобщение приведенной теоремы на функции, удовлетворяющие условию fiW, ^ с£> где g-(2c)>0 весовая функция, по которой вводится функция 0<^.

Q (i)=J №.

I 0 Co) = i, oo < i < 0.

При этом условия б)-г) накладываются на функцию ' * а условие д) — на Р. ~. Соответственно, весовая функция 3 ч-t) рс) входит и в условия (*).

Все изложенные выше результаты относятся к сходимости интегралов (0.1) при фиксированном X. Имеется, однако, и другой подход, основанный на результатах Фату, относящихся к поведению интеграла Пуассона.

Применительно к интегралу (0.1) этот подход заключается в исследовании сходимости ffro), где эс0 — фиксированная характерная точка функции, при условии, что точка Qx'-i^) стремится к точке (х>-Ао) ВД0ЛЬ некоторого пути.

Теорема Фату утверждает, что интеграл Пуассона Рг (стремится к ^(tDo) в каждой d — точке, если (i-c0o) по любому некасательному к единичной окружности пути (см. напр. [3], стр. 160, а также[il], стр.369).

Этот результат Фату был обобщен в ряде работ. В частности, в работе Р. Таберского[30] был получен аналог теоремы Фату для общих сингулярных интегралов типа (0.1) с ядром, зависящим от разности аргументов, когда а=-зг Л — %, a ы являются — периодическими функциями. При этом, в теореме Р. Таберского[Зб1 дано характеристическое описание пути, по которому имеет место сходимость Z^(ljcc) к |(2о) если «Хоесть точка Лебега функции f.. Это описание дано в терминах ядра, а именно, указанная сходимость имеет место, если точка (осстремится к точке по любому плоскому множеству, на котором ограничена функция oc-oc4 • К (О) л) .

Аналогичному вопросу были посвящены также и работы А.Д. ГаджиеваВД и [б]. В частности, в работе [6] найдены порядки сходимости сингулярных интегралов типа (0.1), рассмотренных Р.Таберским. В дальнейшем результаты Р. Таберского и А. Д. Гаджиева были обобщены в работах [8 — 10] и [29] .

Настоящая диссертация также посвящена исследованию сходимости и нахождению порядков (скорости) сходимости сингулярных интегралов.

Диссертация состоит из двух глав, разбитых на семь параграфов. Теоремы, предложения и формулы внутри параграфа имеют двойную нумерацию: первая цифра указывает номер параграфа, а вторая — порядковый номер теоремы или формулы. Следствия из основных теорем имеют тройную нумерацию: первые две цифры повторяют номер теоремы, а третья цифра, записанная в скобках, указывает на номер следствия. §§ 1−4 составляют содержание первой главы, а §§ 5−7 — второй.

Приведем вкратце, основные результаты, полученные в каждом из параграфов первой и второй главы.

Первая глава посвящена исследованию сходимости и порядков сходимости одномерных и многомерных сингулярных интегралов в характерных точках суммируемых функций и в среднем.

Первый параграф носит вспомогательный характер и содержит доказательство некоторых важных для дальнейшего лемм. Приведем одну из них,.

— V п&trade- 2 с/ р

ЛЕММА 1.3. Пусть rcl+h. 1.

— Sufттет U Сорс& < °° л L1.

Ъ* о^в-аЛ Огде о^>0 некоторое фиксированное число.

Тогда какова бы ни была неотрицательная убывающая функция.

СО? ZjfaiO справедлива оценка g.

ISjc-ь)(i+f)~"У №•.

При р-1 утверждение леммы следует из леммы, доказанной Р. Г. Мамедовым ?22], а при p = i. и Оиз леммы И. П. Натансона ([24], стр.262).

В этом же параграфе приводятся некоторые модификации лемм, доказанных А. Д. Гаджиевым [6] .

Приведем, например, следующее утверждение. ЛЕММА I.X. Пусть GO возрастающая функция, абсолютно непрерывная на отрезке [о^-а], jA (о) = о, a cpff) — неотрицательная функция ограниченной вариации в каждом интервале, причем, ^Z^a^) и.

Vlc-t-ayvar q (s)di< aUs* в.

Если функция ^ ^/р ($'??) удовлетворяет условию.

Л О Л.

— nsrS =.

Xk^g-OL1 0то справедлива оценка ^ 1 ^ /р, а 1 где С^И1?(в.0.

Отметим, что при утверждения леммы следует из леммы А. Д. Гаджиева 16]. Если р-1 и j*(-t)=i, то мы приходим к лемме Р. Таберского [30]. Если же pri, а ^ - монотонно убывающая функция, то получается лемма Р. Г. Мамедова [22]. Наконец, если р -1, J^.

ЙгЫ и ^ft) — монотонно убывающая функция, то лемма I. I содержит известную лемму И. П. Натансона L241.

Во втором параграфе с помощью основных лемм первого параграфа исследуется порядок сходимости сингулярных интегралов типа свертки где Т С^-р С-оо-оо) f ^.

Приведем некоторые из полученных результатов. Пусть cl? o некоторое фиксированное число и при некотором фиксированном ^ > о величина oi/? д = [i /? о стремится к нулю при.

П-*.

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть неотрицательная четная функция К^Ю удовлетворяет условиям: б) монотонно убывает на [о>°°) и при ft-*00 и при любом фиксированном >°.

Если функция р — ПРИ фиксированном х и при^о удовлетворяет условию О где-то же число, что и выше, то для интеграла (0.2) в этой же точке о: справедливо соотношение.

Заметим, что утверждение о порядке сходимости интеграла (0.2) было ранее доказано Р. Г. Мамедовым (см. напр. 19]). Приведенная теорема 2.1 дает более точный результат.

В этом же параграфе приводятся и некоторые утверждения более общего характера, являющиеся, однако, менее точными, чем теорема 2.1.

ТЕОРЕМА 2.4. Пусть в интеграле (0.2) ядро K^ft) является четной функцией, удовлетворяющей условию.

Ос" оо и обладающей неотрицательной мажорантой tv^tt) gA^O^, т. е. при любом и любомt.

Пусть является функцией ограниченной вариации на любом конечном отрезке правой полуоси и при любом фиксированном S4 > о и при П.

Ь >л.

СЪ & где.

0.3) a j*-Cfc) возрастающая функция, абсолютно непрерывная на любом конечном отрезке правой полуоси и.

Если при фиксированном 'Х и при К ° функция ^ € L? • Р Удовлетворяет условию w.

0.4) то в этой же точке X при для интеграла (0.2) справедлива оценка.

В частности, из этой теоремы, как и из теоремы других, доказанных в этом параграфе, выводятся многочисленные следствия. Приведем так же одно приложение полученных результатов.

ТЕОРЕМА 2.5. Пусть в интеграле (0.2) ftН (ft-fc) где неотрицательная, четная функция ЦС-fc) монотонно убывает на полуоси.

Оо HC-Oci-t =1 оо и при фиксированных &L>o и р^-1. оо.

X н СО <*- -> ' о.

Если функция в фиксированной точке ос при \->о удовлетворяет условию (0.4) с [л (-Ь)= 9 то в этой же точке ос. при tl->

-?(*•>= .

Отметим, что результаты § 2 обобщают и уточняют некоторые результаты Р. Г. Мамедова [19 — 23] .

В третьем параграфе изучается порядок сходимости сингулярных интегралов.

0.5).

Устанавливаются теоремы, уточняющие приведенную выше теорему Р.Г.Мамедова[19]. Кроме того, в этом же параграфе устанавливаются и более общие теоремы при условии, что функцияf удовлетворяет условию (0.4). Приведем некоторые из общих результатов.

Пусть JGfc) та же функция, что и выше и a+S4 f (р) = ^ O^-K^fe*) jo- ^ где р, й>о — фиксированные числа, ахфиксированная точка вещественной оси.

ТЕОРЕМ 3.4. Пусть в сингулярном интеграле (0.5) ядро является неотрицательной функцией, удовлетворяющей при любых фиксированных 04 и Л условию.

ОО оо и K^ftioc.) как функция от «t монотонно возрастает в (-°°>а) и монотонно убывает в (ос, оо). Кроме того, пусть существует неотрицательная функция ^РС-t) и число такие, что.

С" 00-«00) и ПРИ люс^ых Фиксированных ^ и ^.

1 + 4>C-fc) f гд < х< zz и при \ оо.

Г C-tjx) -о Vp N Л ^ где^. a f имеет вид О если -«x-t^^ или {г < оо — если ,.

Если функция fудовлетворяет условию let).

1 + ЧОЬ) со и для нее при а+К.

In-* о выполнено соотношение X Uct)-^(x)folt) =o (r (k)), то при^Х 00 vp с где ДС]4) определено в (0.5).

Заметим, что эта. теорема обобщает и уточняет один результат А. С. Джафарова (см. 14]).

В качестве применения отметим следующий результат. ТЕОРЕМА 3.5. Пусть в интеграле (0.5) где функция Н (а) является четной, ограниченной на отрезке [-1-,!] и такой, что 2С Н (х) ограничена на всей оси и оо.

— оо.

НСх)о (х=1 .

Пусть функция удовлетворяет условиям.

II <

11 1 + 011 и для некоторого положительного f < 1 при h о эн-к.

ОС.

Тогда при^Х 00 лл/^сы-!^ .

Четвертый параграф посвящен исследованию многомерных сингулярных интегралов с радиальным ядром:

Обозначая точки R. через ос, ^ можем записатьмерный сингулярный интеграл с радиальным ядром в виде где d^ - лебегова мера в Я., а ^ •.

Пусть j4-t) та же функция, что и в §§ 1−3.

Положим также.

S?-i i^-ч tv. -т y ч j.

— единичная сфера в к, у = т^т-, aS- - элемент площади поверхности сферы, а норма берется по 5е. Приведем один из результатов § 4.

ТЕОРЕМА 4.3. Пусть в интеграле (0.6) ядро Kj^ft) Удовлетворяет условию 9 К и обладает мажорантой ft), являющейся при каждом !?>о функцией ограниченной вариации на отрезке (о, и такой, что при оо со Б где a^cja.) определена равенством (0.3).

Если функция? удовлетворяет при к-* о условию W то при.

— ML^ 0 ^V) • м" л.

Заметим, что результаты § 4 уточняют и обобщают некоторые из результатов Р. Г. Мамедова fl9],[23] .

Вторая глава посвящена исследованию сингулярных интегралов типа (0.1) при условии, что точка (з^л) стремится к точке (х,-Ло) вдоль некоторого пути, т. е. сингулярный интеграл (0.1) здесь рассматривается как двупараметрическое семейство. Содержание второй главы изложено в трех параграфах §§ 5−7.

В пятом параграфе изучается сходимость L^ (|зо) к ^(д,), когда стремится к (a^V) по некоторому пути.

Пусть Z — плоское множество точек О*-}), а (осо)зц) предельная точка 2. Полагая н=(зс-л), fe-><>)-, перепишем интеграл (0.1) в виде.

0L.

В этом параграфе также J^ Ct) указанная выше функция.

ТЕОРЕМА 5.1. Пусть в интеграле (0.7) ядро Kftjs) является неотрицательной, измеримой и ограниченной функцией «t при каждом и если — oL у ^-IZ-Zo^ 0>, то при произвольном стремлении z к z0.

V K (t"2)ott —4- ¦ К.

Пусть, кроме того, при любом фиксированном zeZ ядро Кйл) как функцияfc, монотонно возрастает в L^joc], монотонно убывает в Цэс-,£] и если при фиксированном = существует такое S4? €, что при 2-> выполняется неравенство то.

Если в некоторой точке CXo^faji) функция f^Z^, удовлетворяет условию эсо+ 1Хо то для интеграла (0.7) предельное равенство ь^ L =и-*.-) будет справедливо при условии, что по любому плоскому множеству, на котором ограничена функция К (=42.)/ Cla-лО• а.

Отметим, что эта теорема содержит весьма общий результат, и, в частности, охватывает теорему Р. Таберского ЕЗО].

В качестве примера рассматривается сингулярный интеграл типа Гаусса-Вейерштрасса с функцией*) I. зг) Отметим, что. случай р=3 .взят нами лишь для облегчения соответствующих вычислений.

Относящийся к этому интегралу результат является частным случаем теоремы 5.2.

СЛЕДСТВИЕ 5.2 (I). Пусть в сингулярном интеграле W^j^a) функция и в точке ос=эсо удовлетворяет соотношению ^ 1Д с*ьЫг<�Ц) =0 •.

К-" о.

Тогда если только (ос,^) стремится к СзСо, Лв) п0 такому плоскому множеству, на котором ограничена функция .

В шестом параграфе результаты типа теоремы 5.1 доказаны для интегралов (0.7), ядра которых имеют горбатую мажоранту. Полученные в этом параграфе результаты частично обобщают результаты § 5. С другой стороны, в этом параграфе предложен несколько иной способ доказательства теорем о двупараметричес-кой сходимости.

Наконец, седьмой параграф посвящен сходимости сингулярных интегралов с периодическим ядром, зависящим от разности аргументов к недифференцируемым функциям, имеющим в фиксированной точке односторонние производные.

Рассмотрим сингулярный интеграл.

0.8) где д) 2.%- периодаческая функция, а К обладает свойствами: а) является неотрицательной дифференцируемой функцией и при каждом Л — б) при любом фиксированном > О.

HI"? в) справедливо равенство $ = i +, где (L (-0 2.%- периодическая функция, «л.

ТЕОРЕМ 7.1. Пусть функция ^(х) в точке ОС=ЭС<> имеет конечные односторонние производные и •.

Пусть (сс,^") стремится к (Ьсо,>о)по такому пути^, что при где С — постоянная, не зависящая от х, «Ь и Л и существует конечный предел.

Тогда справедливо равенство X.

Из этого результата выведены некоторые следствия. В частности, он содержит теорему Фату об интеграле Пуассона, которая полу.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях автора [36−40] .

В заключение считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность моему научному руководителю доктору физико-математических наук А. Д. Гаджиеву за постановку задач и постоянное внимание. чается при и.

1. АЛЕКСИЧ Г. — Проблемы сходимости ортогональных рядов. ИЛ, М., 1963.

2. А)1ИЕЗЕР Н. И. Лекции по теории аппроксимации. Наука, М., 1965.

3. БАРИ Н. К. Тригонометрические ряды. Физматгиз, М., 1961.

4. ГАДЖИЕВ А.Д. К вопросу о сходимости интегральных операторов. ДАН Азерб. ССР, № 12, 1963, 3−7.

5. ГАДЖИЕВ А.Д. О скорости сходимости одного класса сингулярных интегралов. Изв. АН Азерб.ССР, сер. физ-матем. и техн. наук, № 6, 1963, 27−31.

6. ГАДЖИЕВ А.Д. 0 порядке сходимости сингулярных интегралов, зависящих от двух параметров. В сб. «Спец.вопр.функц. анализа и их прим. к теории дифференц. ур-ий и теории функций», Баку, 1968, 40−44.

7. ГАДЖИЕВ А.Д., ДЖАФАРОВ А.С., ЛАБСКЕР Л. Г. Об асимптотическом значении приближения функций семейством интегральных операторов. Изв. АН Азерб.ССр, сер. физ-матем. и техн. наук, 1962, № 3, 19−28.

8. ГАДДИЕВ Н.М. 0 сходимости и о порядке сходимости двупара-метрических семейств сингулярных интегралов. ДАН Азерб. ССР, 1979, 35, № II, 13−16.

9. ГАДЖИЕВ Н. М. Нетангенциальная сходимость сингулярных интегралов и теоремы типа Д. К. Фаддеева. Изв. АН Азерб.ССР, сер. физ-техн. и матем. наук, 1979, № 6, 70−75.

10. ГАДДИЕВ Н. М. Исследование сходимости двупараметрических семейств сингулярных интегралов. Деп. ВИНИТИ, № 5425−81, 31 стр.

11. ГОЛУЗИН Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. Паука, М., 1966.

12. ГРАДПТЕЙН И.С., РЫЖИК И. М. Таблицы интегралов, суш, рядов и произведений. Физматгиз, М., 1963.

13. ДАНФОРД Н., ШВАРЦ Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. ИЛ, М., 1962.

14. ДЖАФАРОВ А.С. 0 сходимости семейства сингулярных интегралов. Изв. АН Азерб.ССР, сер. физ-матем. и техн. наук, 1961, № 4, 13−23.

15. ЖИЖИАШВШШ Л.В., ТОПУРИЯ С. Б. Ряды Фурье-Лапласа на сфере. Матем. анализ (итоги науки), М., 1977, т.15, 83−130.

16. ИБРАГИМОВ И.И., ГАДДИЕВ А.Д. -.0 порядке сходимости сингулярных интегралов типа Коши-Стильтьеса. ДАН СССР, 1973, 212, № I, 23−26.

17. КОРЕНЕШШ Б.И. 0 представлении функций класса Zp сингулярными интегралами в точках Лебега. ДАН СССР, 1947, 58, 983−976.

18. КОРОВКИН П. П. Линейные операторы и теория приближений. Физматгиз, М., 1959.

19. МАМЕДОВ Р.Г. 0 порядке сходимости ttt — сингулярных интегралов в обобщенных точках Лебега и в пространствеИзв. АН СССР, сер.матем., 1963, 27, 287 304.

20. МАМЕДОВ Р. Г. Обобщение неравенства И. П. Натансона и о порядке сходимости сингулярных интегралов. Ученые записки АТУ им. С. М. Кирова, 1965, Ш 5, 24−33.

21. МАМЕДОВ Р. Г. Приближение функций линейными операторами (на азерб. языке), Азернешр, Баку, 1967, I-2I5.

22. НАТАНСОН И. П. Теория функций вещественной переменной. Наука, М., 1974.

23. НАТАНСОН И. П. Конструктивная теория функций. Гостех-издат, М-Л, 1949.

24. О So-Yno.— Ш1 Watlfi. it & Soc. Scl.KVWtt. Phfr*. die lb RPR ,.

25. ПРИВАЛОВ И. И. Граничные свойства аналитических функций. Физматгиз, М-Л, 1950.

26. РОМАНОВСКИЙ П.И. Qu^t^es ConsUercitCons SturМай .2. «34 (VttiO > .

27. Rydzeyska Barbara oles -{Wiions par ЫЬы^-оМл ^Ucyvliz^ огАХмеиъгл .^еислЛ 7ndMcm^tui ;

28. T^erski. Тх, — БСилдллАиГ Wxtfc^inaXsо (л «Uxro рАдго^еХйМ.. Roczmki Pofek. Ctfe^i. Serial. ^ pfa-oe ma^vvi. Vjl Alb-Alc0} t.

29. Tabors к iRemarks ол SU^W Ut^ral^ .BvJU. QU Z/aka-4. Po (W de^s,. SCM:.M. я, tf?: 3, W3 .

30. ТИМАН А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. Физматгиз, М., I960.

31. ФАДДЕЕВ 0 представлении суммируемых функций сингулярными интегралами в точках Лебега. Матем.сб., 1936, Ш I, 351−368.

32. ХАРДИ, ЛИТТЛЬВУД Д., ПОЛНА Г. Неравенства. ИЛ, 1948.

33. ЧЕЛИДЗЕ В.Г.,•ДЖВАРШЕЙШВИЛИ А. К. Теория интеграла Дан-жуа и некоторые его приложения. Изд. ТГУ, 1978.

34. ЮСИФАЛИЕВ Ю.К. 0 порядке сходимости сингулярных интегралов. Изв. АН Азерб.ССР, сер. физ-техн. и матем. наук, 1983,2.

35. ЮСИФАЛИЕВ Ю.К. 0 порядке приближения функций семействами сингулярных интегралов. Труды конф. молодых ученых ИММ АН Азерб. ССР, посвященной 60-летию СССР, Баку, 1983,.

36. ЮСИФАЛИЕВ Ю.К. 0 локальном приближении функций Исингулярными интегралами. Труды республиканской научной конференции аспирантов АН Азерб. ССР, посвященной 60-летию СССР, Баку, 1983.

37. ЮСИФАЛИЕВ Ю.К. 0 скорости сходимости семейства многомерных сингулярных интегралов с радиальным ядром. Труды П Городской конференции, посвященной роли научных работ молодых ученых в социальном развитии г. Баку, 1983.

38. ЮСИФАЛИЕВ Ю.К. 0 порядке сходимости сингулярных интегралов в характерных точках и в среднем. Деп. ВИНИТИ, 2001;83, 44 стр.