Колебания авиационных конструкций с отсеками, частично заполненными жидкостью

Задачи о колебаниях жидкости со свободной поверхностью в неподвижных, подвижных и упругих полостях весьма часто встречаются в природе, в различных сооружениях и в машиностроительных конструкциях. Это — водоемы, каналы, гидротехнические сооружения, водонапорные башни, нефтехранилища, нефтеналивные суда (танкеры), автои железнодорожные цистерны, космические аппараты и пр.

Большой вклад в теорию, разработку методов расчета и решение конкретных задач динамики твердых и упругих тел с полостями, содержащими жидкость, внесли Стоке, Жуковский Н. Е., Моисеев Н. Н., Колесников К. С., Рабинович Б. И., Лампер Р. Е., Луковский И. А., Балакирев Ю. Г., Шмаков В. П., Шклярчук Ф. Н., Abramson H.N., Bauer H.F., Miles J.W. и др.

Задача о малых (линейных) колебаниях жидкости, частично заполняющей неподвижную, подвижную или упругую полость, формулируется более или менее одинаково [9, 15, 17, 21, 30, 31, 34 — 36, 47, 52, 71, 85]. В большинстве таких задач жидкость можно считать идеальной (невязкой) и несжимаемой, а её движение внутри и на стенках полости — безотрывным.

В этом случае из уравнений движения колеблющейся жидкости следует, что давление является потенциалом для ускорений частиц жидкости и, следовательно, существуют потенциал скоростей и потенциал перемещений жидкости.

В результате задача о колебаниях идеальной жидкости может быть описана только одной неизвестной функцией, представляющей давление в жидкости, или потенциал скоростей или потенциал перемещений жидкости, которые на основании условия несжимаемости должны удовлетворять уравнению Лапласа.

В случае сжимаемой жидкости также существуют указанные выше потенциалы. При этом на основании уравнения неразрывности жидкости давление равно объемной деформации жидкости, умноженной на её модуль объемного адиабатического сжатия) задача вместо уравнения Лапласа сводится к волновому уравнению для потенциала [15,52]. Необходимость учета сжимаемости тяжелой жидкости (не газа) возникает в случае высокочастотных акустических колебаний или в случае гидроупругих колебаний при больших глубинах заполнения толстостенных оболочек (например — трубопроводов).

Задача о колебаниях вязкой жидкости в полостях по постановке и методом решения существенно отличается от задачи о колебаниях идеальной жидкости [30,36].

При малых колебаниях подвижных и упругих полостей, частично заполненных несжимаемой жидкостью, её сложное движение можно представить в виде суммы переносного движения, обусловленного перемещениями стенок, и относительного движения, обусловленного гравитационными волнами на свободной поверхности жидкости.

Теоретически в жидкости могут также происходить внутренние относительные движения жидкости, не связанные с движениями стенок и свободной поверхности. В действительности такие движения в идеальной жидкости не возникают, поскольку отсутствуют внутренние силы для их возбуждения. Однако при численных методах решения гидродинамической задачи для уравнения Лапласа (особенно при использовании метода конечных разностей, метода конечных эдементов и некоторых вариантов метода Ритца) такие движения возникают и они сильно усложняют анализ колебаний системы. Например, при расчете собственных колебаний жидкости в полости или гидроупругой системы указанными методами появляются «паразитные» (spurious) формы колебаний с близкими к нулю частотами.

Эти формы обусловлены внутренними движениями жидкости, собственные частоты которых теоретически должны быть равны нулю. Паразитные формы, число которых равно числу внутренних степеней свободы, получаются неортогональными и могут приводить к погрешностям расчета низших собственных частот гравитационных и упругих колебаний. Это необходимо учитывать при разработке и при использовании методов расчета, допускающих появление паразитных форм колебаний.

Для расчета колебаний жидкости в подвижных и упругих полостях используются различные приближенные аналитические и численные методы. Точные решения могут быть получены только для таких форм объема жидкости, которые допускают применение метода разделения переменных в изученных системах координат (декартовой, цилиндрической, сферической и др.), [2−4,16,57,59].

Для получения приближенных и численных методов для баков сложной формы обычно используются вариационные формулировки задачи о колебаниях жидкости со свободной поверхностью в виде принципа Лагранжа и Кастильяно [32,84], принципа Бейтмана [27,28] и различных вариантов смешанного вариационного принципа [8,15,17,47].

При использовании принципа Лагранжа для гидроупругих колебаний оболочек основная трудность заключается в том, чтобы точно удовлетворить кинематическое граничное условие безотрывного движения оболочки и жидкости. В [1] для этого в качестве основной неизвестной рассматривается гармоническая функция потенциала перемещений жидкости, а нормальное перемещение оболочки выражается через нее.

В [54,55] наоборот перемещения жидкости выражаются через нормальное перемещение оболочки, удовлетворяя условие несжимаемости жидкости и условие безотрывности её на подвижной стенке. Решения в [1,54,55] получены методом Ритца в перемещениях с достаточно быстрой сходимостью.

Более простой алгоритм реализации метода Ритца для решения задач о колебаниях жидкости в неподвижных, подвижных и упругих полостях получается при использовании принципа Кастильяно (классического вариационного принципа для давления жидкости или связанных с ним потенциалов скоростей или перемещений жидкости [10,28,41,42]. Из этого принципа следуют условие несжимаемости жидкости в виде уравнения Лапласа, кинематическое условие её безотрывного движения на стенке и условие на свободной поверхности жидкости в случае, когда гравитация не равна нулю.

Принцип Кастильяно не применим, если частоты колебаний значительно выше низшей собственной частоты гравитационных колебаний жидкости в неподвижной полости или, формально, если при наличии свободной поверхности ускорение поля массовых сил (сил тяжести) стремится к нулю.

Чтобы обойти эту трудность при использовании принципа Кастильяно, в некоторых работах заранее удовлетворяется динамическое граничное условие на свободной поверхности [2]. Во многих работах для этого вводится еще одна функция, представяющая нормальное перемещение свободной поверхности, которая рассматривается также, как нормальное перемещение стенки полости, и далее может считаться заданной или неизвестной [18,28].

При решении гидродинамической задачи таким способом для определения потенциалов переносного движения жидкости (при этом гравитация не учитывается), свободную поверхность жидкости заменяют «крышкой», которая считается связанной со стенками полости [23,32,34−36, 41−43] или свободно плавающей [30,31,44,45]. Далее, чтобы устранить влияние такой несуществующей «крышки», добавляются в качестве неизвестных волновые движения свободной поверхности жидкости.

Алгоритм метода Ритца упрощается, если вместо принципа Кастильяно для жидкости использовать смешанный вариационный принцип, предложенный в [17]. При использовании этого принципа нет необходимости вводить на свободной поверхности дополнительную неизвестную функцию или «крышку», или заранее удовлетворять динамическое условие, так как оно удовлетворяется автоматически, даже если гравитация не учитывается.

Оценки сходимости решений по методу Ритца с использованием смешанного вариационного принципа были выполнены в [63] на примере осесимметричных колебаний конической оболочки с жидкостью и в [24] на примерах колебаний жидкости в прямоугольной полости и в круговом цилиндре.

Среди других методов, используемых при расчете колебаний жидкости в подвижных и упругих полостях отметим следующие: метод граничных элементов [11,82], метод аналитического продолжения решения при увеличении глубины жидкости [12], метод коллокаций для удовлетворения условия безотрывного движения жидкости и стенки [13], метод итераций для расчета собственных осесимметричных колебаний оболочек вращения с жидкостью [66].

В последние годы широкое распространение в гидроупругости получил метод конечных элементов (МКЭ) в различных вариантах [18,20,22, 37,48,53,62,72,74−83,86−92].

В работах [48,72,77,79−81,83,90] решение строится в перемещениях для сжимаемой жидкости как для частного случая упругого тела с нулевой жесткостью на сдвиг. Решение в таком виде может привести к большим вычислительным трудностям и ошибкам, поскольку в системе одновременно присутствуют низкочастотный спектр гравитационных колебаний, высокочастотный спектр акустических колебаний и нулевой спектр внутренних движений жидкости. В некоторых из этих работ для случая несжимаемой жидкости накладываются дополнительные связи. Это значительно усложняет алготритм.

В [56,76,78,92] составляются уравнения МКЭ для давления (потенциала) несжимаемой жидкости и затем исключаются внутренние переменные как циклические координаты. Том самым устраняются «нулевые» формы внутренних движений жидкости.

В [20,74] уравнения гидроупругости для КЭ-модели получаются путем удовлетворения всех уравнений и граничных условий приближенно по методу Бубнова-Галеркина. Такой подход приводит к несимметричным системам уравнений высокого порядка.

В [37,86,87] уравнения МКЭ строятся на основе смешанного вариационного принципа для двух функций, характеризующих колебания в общем случае сжимаемой жидкости, — давления и потенциала перемещений. Это сильно увеличивает размерность системы.

В [18] и ряде других работ этого автора также используется смешанный вариационный принцип для расчета колебаний оболочек вращения с жидкостью по МКЭ. При этом колебания жидкости описываются потенциалом перемещений и нормальным перемещением свободной поверхности.

В [25] для расчета колебаний жидкости в полостях использовался МКЭ, так же как ранее метод Ритца [24], на основе различных вариационных принципов (Лагранжа, Кастильяно и смешанном) для одной неизвестной функции — потенциала перемещений жидкости.

В работах [15,53,60,62] для оболочек вращения и произвольных полостей в виде наклонных каналов с жидкостью предложен вариант МКЭ в перемещениях, когда в качестве КЭ рассматриваются поперечные слои жидкости. Этот метод разработан на основе сведения гидродинамической задачи в таких полостях к одномерной задаче, путем разложения продольных перемещений жидкости по заданным функциям координат поперечного сечения [15,16,40,56,61,64,67−69].

Таким образом гидродинамическая задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений или соответствующих алгебраических уравнений МКЭ с КЭ в виде слоев жидкости. Такой подход является весьма эффективным и позволяет получить приближенное решение с достаточно высокой точностью при небольшом числе неизвестных (с 1-м или 2-мя дифференциальными уравнениями или с 8 10 КЭ).

Отмеченные здесь методы расчета колебаний жидкости в подвижных недеформируемых и деформируемых полостях используются в динамике упругих тонкостенных конструкций с отсеками и баками, содержащими жидкость. К ним односятся жидкостные ракеты [14,23,30,31,45,47,49,58,70, 73], самолеты [5,40,43,44], корабли [29,33], а также другие конструкции и сооружения с жидкостью.

На основании анализа литературы по теме диссертации определена цель работы: разработать методы расчета колебаний тонкостенной конструкции самолета, отсеки крыла и фюзеляжа которого частично заполнены жидкостью.

Основное содержание диссертации изложено в пяти главах.

В первой главе разработана математическая модель для изгибно-крутильных колебаний крыла большого удлинения с отсеками, частично заполненными жидкостью, а также — для фюзеляжа, используя метод отсеков. Деформация отсеков конструкции, как укрупненных конечных элементов, рассматривается на основе теории изгиба, сдвига и кручения подкрепленных слабоконических оболочек с производным контуром поперечных сечений, который может свободно депланировать и искривляться. Получены уравнения колебаний конструкции с учетом подвижности жидкости, частично заполняющей отсеки.

Во второй главе рассмотрено применение метода Ритца и МКЭ для расчета колебаний жидкости в упругих полостях на основе вариационных принципов Лагранжа, Кастильяно и смешанного вариационного принципа. Получены сравнительные результаты для собственных частот гравитационных колебаний жидкости и коэффициентов присоединенных масс жидкости на примере плоской задачи для подвижной прямоугольной полости с оценками их сходимости и точности.

Третья глава посвящена разработке метода сведения плоской гидродинамической задачи к одномерной для жидкости переменной глубины, частично заполняющей произвольную упругую полость с плоскими торцами. Используются разложения продольного перемещения жидкости по степенным функциям, а также по ортогональным полиномам Лежандра, по поперечной координате. Получены обыкновенные дифференциальные уравнения, а также соответствующие алгебраические уравнения МКЭ с КЭ в виде поперечных слоев жидкости.

Выполнены сравнительные расчеты с оценкой сходимости результатов для подвижной прямоугольной полости с наклоненной свободной поверхностью жидкости. Показано, что приближение, соответствующее гипотезе плоских поперечных сечений жидкости, имеет практически приемлемую точность.

В четвертой главе гипотеза плоских поперечных сечений жидкости используется для решения трехмерной задачи о колебаниях жидкости, частично заполняющей упругие отсеки фюзеляжа, имеющие продольную плоскость симметрии. Решение построено с помощью МКЭ. В качестве КЭ рассматриваются поперечные слои жидкости, в пределах толщины которых для перемещений используется линейная аппроксимация. Представлены примеры расчета собственных колебаний жидкости, частично заполняющей круговую цилиндрическую полость, расположенную горизонтально и с наклоном.

Пятая глава посвящена оценке влияния подвижности жидкости на упругие колебания и флаттер. Рассмотрены собственные поперечные и крутильные колебания прямоугольного кессона с отсеками, частично заполнеными жидкостью, при разных углах наклона свободных поверхностей.

Также рассмотрен флаттер крыла с полостью, частично заполненой жидкостью. Оценено влияния подвижности жидкости при разных углах наклона её свободной поверхности.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

1. УРАВНЕНИЕ ИЗГИБНО-КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ КРЫЛА.

БОЛЬШОГО УДЛИНЕНИЯ С ОТСЕКАМИ, ЧАСТИЧНО.

ЗАПОЛНЕННЫМИ ЖИДКОСТЬЮ.

Основные результаты работы.

1. Разработана математическая модель и получены уравнения в обобщенных координатах для расчета изгибно-крутильных колебаний конструкции самолета с отсеками крыла и фюзеляжа, частично заполненными жидкостью.

2. Разработаны алгоритмы расчета колебаний жидкости в упругих полостях методом Ритца и методом конечных элементов на основе вариационных принципов Лагранжа, Кастильяно и смешанного вариационного принципа. Получены сравнительные результаты расчета собственных частот и коэффициентов присоединенных масс жидкости с оценками точности и сходимости.

3. Плоская задача о колебаниях жидкости переменной глубины, частично заполняющей произвольную упругую полость, путем разложения перемещений жидкости в ряд по заданным функциям поперечной координаты сведена к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Так же получены алгебраические уравнения по методу конечных элементов в виде поперечных слоев жидкости. Показано, что двучленное приближение, соответствующее гипотезе плоских поперечных сечений жидкости, обладает достаточно высокой точностью.

4. Метод конечных элементов в виде поперечных слоев жидкости, которые перемещаются и поворачиваются, оставаясь плоскими, применен так же для расчета колебаний жидкости в упругих отсеках фюзеляжа.

5. Оценено влияние подвижности жидкости в отсеках и наклона её свободных поверхностей на упругие поперечные и крутильные колебания прямоугольного кессона и на флаттер профиля крыла с жидкостью.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.