Статистические предельные теоремы для слабо зависимых случайных полей

Доказательство центральной предельной теоремы (ЦПТ) при различных условиях является традиционной задачей теории вероятностей (см., например, [9,12,19,30,33,60]). Достаточно указать на труды Муавра, Лапласа, Че-бышева, Маркова, Ляпунова, Линдеберга, Бернштейна, Прохорова, Колмогорова, Леви, Гнеденко, Ибрагимова, Петрова, Золотарева, Ширяева и других ученых. Это важное направление исследований имеет множество применений в статистике (см., например, [21,70]). В частности, ЦПТ используется для проверки статистических гипотез и построения приближенных доверительных интервалов для параметров моделей. При изучении вектор-нозначных зависимых полей в центральной предельной теореме приходится вместо дисперсии для нормировки вводить асимптотическую матрицу ко-вариаций частных сумм случайного поля (так называемую долгосрочную матрицу ковариации). Данная работа посвящена изучению свойств оценок этой матрицы для стационарных и нестационарных полей. В случае, когда известно, что ноле стационарное, используются статистики с локальным усреднением. Если же нет предположения о стационарности, применяются ядерные оценки.

Прежде всего опишем структуру зависимости случайных полей, изучающихся в данной работе. Понятие независимости систем случайных величии является одним из основных в теории вероятностей. Для таких семейств случайных величин получено множество глубоких результатов (например, [18,30,37]). Однако в настоящее время имеется немало интересных стохастических моделей, использующих различные виды зависимых случайных величин. Это объясняется как красотой математических конструкций, так и широким применением таких структур в физике, химии, биологии и экономике.

Важными примерами зависимых процессов и полей являются мартингалы и близкие им объекты ([37,75,82]), марковские процессы и поля ([16,32]), процессы и поля с перемешиванием ([19,55]), гиббсовские поля ([15,31]). Еще одним широко распростаненным подходом к описанию стохастической зависимости является задание ограничений на ковариации некоторых функций от конечных наборов случайных величин или векторов. Приведем определения некоторых условий зависимости, использующих этот подход (подробный обзор см. в [9]).

Определение 1 ([58]) Семейство действительных случайных величии X = {Xj, j G называется ассоциированным или положительно зависимым, если для любых конечных множеств I, J С hd и всех функций / Е A4(|/|), д Е ftA{J) выполнено неравенство.

Y{f{xuiei), g{Xhje J))>o. (l).

Здесь Л4(п) — класс действительнозначных ограниченных покоординатно неубывающих борелевских функций на Mn, п? N- |/(— мощность множества I, а запись f{Xi, i? I) означает, что можно рассматривать f{Xj), где Xj — любой вектор, полученный упорядочиванием множества случайных величин 6 /}.

При дополнительном ограничении, что множества / и J не пересекаются, соотношение (1) вводит слабую ассоциированность или положительную ассоциированность (PA, positive association), а аналог (1) с неравенством противоположного знака задает отрицательную ассоциированность (NA, negative association). Приведем определения этих понятий для векторнозначных полей (обобщение на многомерный случай).

Определение 2 ([50,87]) Семейство X = {Xj, j € Zd] случайных векторов со значениями в R', I G N, называется слабо ассоциированным или положительно ассоциированным, если для любых конечных непересекающихся множеств I, J с Zd и всех функций / € M.(Il), д? A4(Jl) выполнено неравенство cov (f (XuieI), g (Xjtj€ J))>0.

Запись f (Xi, i? /) определяет случайную величину с точностью до перестановки индексов i Е /, причем координаты каждого из векторов Xj не переставляются.

Определение 3 ([73]) Семейство X = {Xj, j? Z^} случайных векторов со значениями в I € N, называется отрицательно ассоциированным, если для любых конечных непересекающихся множеств /, J С ЪЛ и всех функций /? Л4(|/|/), g G ЛЛ (| J|?) выполнено неравенство cov (f (Xi}i е I), g (XjJ G J)) < 0.

Отметим, что любое семейство независимых действительных случайных величин автоматически будет ассоциированным. Более сложные ассоциированные структуры возникают при исследовании решений стохастических дифференциальных уравнений, полей дробового шума, кластерных случайных мер и др. Заслуживает внимания теорема Бертона-Уэймира-Эванса ([51,59]) об ассоциированности безгранично делимой случайной меры, заданной на польском пространстве. Кроме того, теорема Питта ([93]) и теорема Ли, Рачева и Самородницкого ([76]) дают соответственно критерии ассоциированности гауссовской системы и устойчивого случайного вектора. В качестве примеров отрицательной ассоциированности можно отметить модели, связанные с порядковыми статистиками, системы пространственных электрических сетей и детерминантные точечные поля. С понятием ассоциированности тесно связаны знаменитые ФКЖ-неравенства Форту-ина, Кастелейна и Жинибра ([61]) и известные теоремы Холли ([71]) и Престона ([94]). Эти результаты играют большую роль в статистической физике ([31]), теории перколяции ([65]) и теории надежности ([1]).

Определение 4 ([5,49]) Семейство X — {Xj, j? случайных векторов со значениями в Ж1, I G N, называется квазиассоциированиым, если для любых конечных непересекающихся множеств /, J С и всех функций / G M (Il), д G Ad (Jl) выполнено неравенство I coy (f (Xi, i G I), g (XjJ е J))| < Lip (/)Lip (#) ^ |cov (^, a, Xi)6)|, г’е/, J а, 6=1.

2) где.

Lip (/) = Sup^bJM N|, = gK|. u^v \и т=1.

В [8] показано, что любое семейство положительно или отрицательно ассоциированных случайных векторов X = {Xj, j G Т}, Xj = (Xj^i,., Xjj) T («T» обозначает транспонирование), с конечным вторым моментом удовлетворяет неравенству (2). Значит, понятие квазиассоциированности позволяет единообразно рассматривать как положительно, так и отрицательно зависимые случайные системы. Кроме того, заметим, что любая гауссовская система случайных векторов является квазиассоцииро-ванной ([35]).

В данной диссертационной работе рассматриваются (BL, #)-зависимые случайные поля, заданные на решетке Ъй (d > 1). Этот класс случайных систем был введен Вулинским и Сюкэ в 2001 году ([49]). Пусть БС{п) — класс действительнозначных ограниченных липшицевых (bounded Lipschitz) функций на Rn, п Е N.

Определение 5 ([49]) Случайное поле X = {X,-, j Е принимающее значения в Мг, называется (ВL, в)-зависимым, если существует монотонно стремящаяся к нулю при г —" оо положительная последовательность в = {0r}reN такая, что для любых конечных непересекающихся множеств I, J С и любых функций / Е #?(|/|/), ^ Е ??(| Jl) верно неравенство cov (f (xuie I), g (Xj, j Е J))| < Lip (/) Lip (g)(|/| A |J|)^dist (/-j), (3) где dist (/, J) = min{||x — y\, x E I, у E J}, ||ж|| = max Jxs|, x E.

Рис. 1. 8.

Можно интерпретировать это определение следующим образом. При увеличении расстояния (г на рис. 1) между множествами / и J зависимость между случайными векторами, индексированными элементами этих множеств, уменьшается. А если расстояние между множествами не изменяется, а сами множества увеличиваются, то зависимость между соответствующими группами случайных векторов может расти.

Часто для описания зависимости используют коэффициенты Кокса-Гримметта ([54]): I ur — sup У^ [cov (Xija, Xjjb) l Г е N. l€Zd о, 6=1 i-3\>r.

Если для квазиассоциированного поля коэффициенты иг конечны и стремятся к нулю при г —> сю, то такое поле является (BL, #)-зависимым, и, кроме того, 0 Г = иг, г? N. Также отметим, что при выполнении условия конечной восприимчивости (которое для стационарного в широком смысле поля означает суммируемость ковариационной функции), предложенного Ч. Ньюменом ([86]), квазиассоциированные случайные ноля будут (BL, 0)-зависимыми. Отметим, что имеются примеры (BL, 0)-зависимых полей, которые не являются ассоциированными (см. [9,101]).

Иногда в определении 5 в правой части неравенства (3) вместо Lip (/) Lip (g)(|/| Л |J|) используют функционалы ф (/, д, |/|, |J|) более общего вида (хотя обычно предполагается, что ф зависит от функций / и д только через ||/||оо> Lip (/), ||g||oo и Lip (g)). Например, при изучении ARCH-моделей и полей Вольтерра ([56]) используют следующий функционал:

Ш 9, |/|, И) = 1Л Lip (/)||p||oo + j LipGrtll/lloo, где 11/||оо ~~ максимальная норма функции /, т. е. существенная верхняя грань ее модуля.

Имеются модификации определения 5, в которых рассматриваются другие (не БС{п)) классы пробных функций / и д. Например, используют функции степенного типа ([2]), линейные ([43]), функции, имеющие ограниченную вариацию на отрезке ([97]), и пробные функции типа комплексной экспоненты ([57]). Отдельно выделим следующее утверждение, которое понадобится в дальнейшем.

Замечание 0.0.1 ([9], с. 110) Если EX’j < оо для каждого j G Z, d, то липшицевы функции / и д, фигурирующие в (3), необязательно считать ограниченными.

Применяются и другие условия зависимости, родственные понятию ассоциированности. Например, положительно (отрицательно) квадрантно зависимые ([77]) и линейно положительно квадрантно зависимые семейства случайных величин ([87]).

Рассмотрим последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин Х, Х2,., для которых EXi = а 6 К. и varXi — а2 Е Е+. Хорошо известно, что в этом случае частные суммы Sn = X1 +. + Хп, п G N, будут асимптотически нормальны, т. е. или векторов), а У ~ N (0,a2). Очевидно, что если, а ^ 0, то выражение (4) можно переписать в более стандартном виде: п V*{Sn — па) Д У, п —> оо,.

4) где «—>¦» означает слабую сходимость распределений случайных величин.

5 ;

5) п —" оо где Z ~ iV (0,1). В этом случае обычно говорят, что выполняется централь-пая предельная теорема.

Далее нас будут интересовать состоятельные оценки а. Рассмотрим последовательность неотрицательных случайных величии {<7n}ngN таких, что р (сходимость по вероятности при п —"• оо). Тогда, воспользовавшись известной теоремой Слуцкого, можно сделать вывод (считаем, что дробь равна нулю, если ее знаменатель равен нулю), что.

Sn — па d, .

— у=—> Z, п оо. (6) пл/П.

Таким образом, (6) дает возможность конструировать приближенные доверительные интервалы для неизвестного среднего значения а, используя состоятельные оценки ап, которые строятся по первым п € N значениям случайной последовательности, а именно ап — an (Xi,., Хп). Часто используется метод стыодентизации ([21, глава 27]), т. е. рассматривается эмпирическая дисперсия.

1 71 ап «.

П. 2 = 1 где эмпирическое среднее Хп = n-1 X^Li ^i.

Существует ряд обобщений данного подхода. Заметим, что для независимых одинаково распределенных случайных векторов ситуация становится уже более сложной. Пусть теперь Х, Xi,. — независимые одинаково распределенные случайные векторы со значениями в Ж1 такие, что для каждого v, принадлежащего единичной сфере S1~1 в Кг, скалярное произведение (v, Xi) не является константой почти наверное (в этом случае говорят, что случайный вектор Х является полным). Предположим, что существуют неслучайные последовательности матриц Ап и векторов bn, n G N, такие, что.

An (Sn — bn) Д N (0,1/), n oo, где S^ = I- ~ единичная матрица порядка l. Тогда говорят, что вектор Х принадлежит области притяжения нормального закона (для краткости пишут Х е GDOAN, generalized domain of attraction of the normal law). Аналитические свойства области притяжения нормального закона изучались в работах [66], [80] и [100]. В частности, если Х € GDOAN, то ЕХ существует и матрицы Ап можно взять симметричными и невырожденными, a bn = п Е Х.

Для векторнозначного случая аналогично определим Хп = п-1 ^ и = I — *")(* - П е N.

• 1 г=.

Таким образом, Сп является выборочной ковариационной матрицей для векторов Х,., Хп, п G N. Если Х полный, то, согласно [80], случайная матрица Сп (ш) не вырождена при и G Dn, где P (Dn) —" 1 при п —> оо. Следовательно, можно ввести статистики.

Tn = n-1^2C~½(Sn-nEX1)} n е N. (8).

—½.

Здесь Сп (со) обозначает нулевую матрицу, если ш $ Dn. В [81] и [100] доказано, что, если Хх G GDOAN то.

Тп Д N (0,h), п-+ ос. (9).

В [64] установлена справедливость обратного утверждения для действительнозначных случайных величин, т. е. в случае I = 1. В [63] аналогичное обратное утверждение было получено для симметричных случайных векторов Xi, X2, ¦ ¦ ¦ со значениями в М1, I > 1.

В случае зависимой случайной последовательности возникают дополнительные сложности. Во-первых, нормировка в центральной предельной теореме будет иметь другой вид. Для действительнозначного случая {1 = 1) в (5) приходится использовать не дисперсию случайной величины Х, а асимптотическую дисперсию частных сумм случайного процесса.

10) i = 1 j= 1 т. е. учитывать ковариации всевозможных пар случайных величин из последовательности Xi, X2, • ¦ ¦ ¦ Заметим, что в случае независимости и одинаковой распределенности правая часть (10) превращается в дисперсию случайной величины Х.

В векторнозначном случае (I > 1) центральная предельная теорема будет иметь следующий вид: п-½Е-½(5пЕ5п) Д N (0,h), rwoo, где Е — так называемая долгосрочная матрица ковариаций,.

1 п п.

Е:= Пт — У2УСоу (ХиХ^) (11) тг—>oo n ?—' —' г'=1 j=l lim — ЕЕ — (Е*)(ЕХ,-)Т). п—>оо п z—' z—' г=1 j=l.

Для случайного поля X = {Xj, j € d > 1, также вводятся подобные нормировки и аналогом (11) будет матрица.

Е: = lim -1 V Cov (Xj, Xj), (12) п—>оо 71″ 1'.

Un := [l, nfnzrf, n G N.

Для зависимых случайных векторов (/ > 1) в многомерном пространстве (d > 1) для оценки матрицы Е применяют статистики более сложного вида (отличные от <тп или Сп). Изучению таких статистик для (ВЬ, 9)~ зависимого случайного поля посвящена основная часть данной диссертационной работы.

Если поле стационарное, то, как легко проверить, элементы матрицы s = {°" о, ь}^ь=1 имеют вид а, Ъ = СОv (X0ta, Xj>b), а, 6 = 1,. .. , I. je zd.

Ряд работ посвящен изучению самонормировок в центральной предельной теореме для стационарных нолей, и, в частности, изучению оценок для ааф. В [91] Пелиград и Шао ввели два типа статистик д для процесса с перемешиванием (I = 1, d = 1). Для ассоциированных случайных нолей Булинский и Вронский ([7]) предложили обобщение упомянутых выше статистик (подробно о сравнении статистик этих двух типов можно прочитать, например, в [9, глава 7]). Для векторнозначных случайных полей соответствующие случайные матричные нормировки изучались в [6] в условиях квазиассоциированной зависимости. Использование самонормировок для действительнозначных случайных полей обсуждается в [45] в связи со стохастическими моделями в радиобиологии, описывающими зависимость между функциональными единицами облученных органов или тканей.

В главе 1 данной диссертационной работы исследуются статистики с локальным усреднением, обобщающие рассмотренные в [6].

Если случайное поле центрированное, но необязательно стационарное, то (12) превращается в is).

Существует достаточно много работ, посвященных исследованию ядерных оценок матрицы? для последовательностей зависимых случайных векторов Они часто возникают (см., например, [39,67]) при изучении асимптотической нормальности параметров в эконометрических моделях, обладающих свойствами гетероскедастичности и автокорреляции ошибок (heteroskedasticity and autocorrelation). В анализе финансовых временных рядов и макроэкономических данных все большую популярность завоевывает обобщенный метод моментов ([69]), в котором важную роль играют состоятельные оценки долгосрочной матрицы ковариаций. Кроме того, следует отметить и другие статистические методы, связанные с тестами на коинтеграцию и единичный корень ([92]).

Ядерные оценки долгосрочной матрицы ковариаций для последовательности центрированных случайных векторов имеют следующий вид: где к (х) — некоторая ядерная функция (ядро), а)" - так называемая ширина окна (lag truncation или bandwidth parameters).

Такие оценки тесно связаны с классом ядерных оценок матрицы спектральной плотности (см., например, [90]). Чтобы проиллюстрировать эту взаимосвязь, заметим, что в случае центрированной стационарной последовательности (d = 1) векторов матрица спектральной плотности определяется как.

71—1.

J] кО/ъ)Ш.

14) j=-n+1.

— оо где г = у—1. А долгосрочную матрицу ковариаций можно записать в следующем виде: оо j=-oо.

Очевидно, что тогда при Л = 0 матрица спектральной плотности и долгосрочная матрица ковариаций совпадают с точностью до множителя 2тт. Поэтому хорошо разработанная спектральная теория, и, в частности, ядерные методы оценивания спектральной плотности, широко применяются для оценки матрицы Е.

Приведем примеры наиболее популярных в литературе ядерных функций:

• Прямоугольное ядро (truncated kernel, [102]) ктн{х) = 1{М < 1}.

• Треугольное ядро (или Bartlett kernel, [85]) квт{х) = (1 — |®|) 1{|х| < 1}.

Следует отметить, что именно эта ядерная функция наиболее часто используется в компьютерных статистических пакетах.

• Ядро Парзеиа (Parzen kernel, [62]) f.

1 — Qx2 + 6|ж|3, при х? [0,½], kpR (х) = < 2(1 — |.т|)3, при |х|? (½, 1],.

0, иначе.

Ядро Тьюки-Хэннинга (Tukey-Hanning kernel, [96]).

1 — софта) ктн{х) =—-1{х < 1}.

• Квадратичное спектральное ядро (quadratic spectral kernel, [17,95]) ч 25 /sin (67ra-/5). Д. йю (nk/Fсоз (6та/5)) ¦ (15).

Более подробный обзор ядерных функций, а также особенности их использования для временных рядов можно найти в [96].

В 80-х годах прошлого века активно исследовались оценки вида (14) с различными ядерными функциями. В статье [39] проводится сравнение свойств таких оценок и изучается вопрос оптимизации выбора последовательности {7n}?ieN' В частности, устанавливается, что квадратичное спектральное ядро (15) является в некотором смысле оптимальным.

До появления работы Хансена [68] для доказательства результатов о ядерных оценках матрицы ковариаций обычно использовали предположение о наличии конечного четвертого момента. В [68] состоятельность оценок установлена при условии конечности абсолютного момента, порядка чуть большего двух. Кроме того, в [68] не требуется стационарность исследуемого процесса. Для последовательностей с определенной структурой зависимости сильная состоятельность оценок установлена в [74] и [53]. В данной диссертации получены аналогичные результаты для (BL, 0)-зависимых случайных полей, обобщающие [68] и [74].

Во многих работах результаты о ядерных оценках формулируются для аи^{-перемешивающих} последовательностей случайных векторов. Этот подход описания структуры зависимости имеет некоторые недостатки (см. [55]). Во-первых, уже из самого определения последовательностей с перемешиванием нонятно, что достаточно сложно проверить, обладают ли имеющиеся данные этим видом зависимости. Во-вторых, как показано в [38], даже авторегрессии первого порядка с дискретным шумом не обладают свойством сильного перемешивания. Отметим, что верно и обратное: не всякое иоле, обладающее свойствами перемешивания, является ассоциированным. Однако анализ процессов и полей со свойством положительной ассоциированности (или его модификациями) имеет то преимущество, что предельные теоремы устанавливаются при весьма простых условиях на ковариационную функцию и абсолютные моменты рассматриваемых величин. При исследовании ядерных оценок используются и другие подходы к описанию зависимости ([75]).

Во второй главе диссертации исследуется взаимосвязь ядерных оценок и статистик с локальным усреднением для центированных стационарных полей.

Идея использования ядерных функций применяется не только для оценки долгосрочной матрицы ковариаций. Обширная литература посвящена изучению ядерных оценок плотности ([14,29,89,98]), функций распределения, квантилей ([52]), моды ([83]), функции регрессии ([28,40,72,79,99]) и эмпирического правдоподобия ([104]).

Кроме того, отметим, что для описания структуры некоторых объектов, изучаемых в медицине, геологии и науке о материалах, хорошей математической моделью может быть стационарное векторнозначное случайное поле, заданное на пространстве, а не на целочисленной решетке. Здесь для получения асимптотически значимых тестов для вектора средних также важным является изучение состоятельных оценок асимптотической ковариационной матрицы. Непараметрические оценки такой матрицы рассматриваются, например, в [88].

Моментные и максимальные неравенства являются важнейшими инструментами доказательства предельных теорем (усиленного закона больших чисел, принципа инвариантности, закона повторного логарифма) для случайных процессов и полей (см., например, [4,9,13,19,30,37,55]). Достаточно упомянуть классические неравенства Колмогорова, Хинчина, Марцинкевича-Зигмунда и Розенталь, установленные при определенных условиях для последовательностей независимых случайных величии. При получении моментных и максимальных неравенств для сумм зависимых мультииндексированных слагаемых возникают дополнительные сложности. Они обусловлены как структурой зависимости рассматриваемых величин, так и конфигурацией множеств, по которым ведется суммирование ([2,9−11,36,48,1031).

В [78] и [56] моментные и максимальные неравенства доказываются для ограниченных слабо зависимых случайных величин. Использование техники урезания позволяет избавится от этого условия (см. [48]).

Целочисленным блоком (или параллелепипедом) будем называть множество W = (а, Ъ] nZd, где (а, b] := (ai, 6i] х • • • х (а^, аг-, b{ G Ъ, щ < 6г-, г = 1,. ., d. Пусть Ы — совокупность всех таких целочисленных блоков.

Важным результатом является теорема Морица ([84]). Она позволяет из момептного неравенства получить при определенных условиях соответствующее максимальное неравенство для суммы случайных величии, индексированных элементами некоторого множества, образующего целочисленный параллелепипед. Отметим, что обобщение этого подхода на суммы случайных величин, берущихся, но произвольным конечным подмножествам целочисленной решетки, не является тривиальным.

Структура работы.

Работа, объемом 99 страниц, состоит из введения, трех глав и списка литературы, насчитывающего 104 наименования.

Первая глава разделена на 2 параграфа. В первом из них для вектор-нозначных слабо зависимых случайных полей устанавливается состоятельность статистик с локальным усреднением, которая используется для получения статистического варианта центральной предельной теоремы с са-мопормировкой. Основной результат главы — теорема 1.2.2, дающая оценку скорости сходимости функций распределения самонормированных частных сумм к функции распределения нормального закона. Отдельно отметим новую алгебраическую лемму 1.2.1, представляющую самостоятельный интерес.

Вторая глава, главным образом, посвящена изучению ядерных оценок в многомерном случае. Здесь 4 параграфа. В первом вводится аналог ядерных оценок долгосрочной матрицы ковариаций для полей. Во втором параграфе устанавливается новое моментное неравенство, которое используется в разделе 2.3 для доказательства состоятельности и сильной состоятельности ядерных оценок. В последнем параграфе второй главы прослеживается аналогия между статистиками с локальным усреднением и ядерными оценками для центрированных стационарных полей.

Третья глава содержит 3 параграфа. В первом параграфе автором предложен новый вариант метода секционирования Бернштейна, основанный на результатах Булинского [4] и Лифшица [26]. Во втором параграфе эти вспомогательные результаты применяются для доказательства теоремы 3.2.1, которая обобщает неравенство, установленное в [48], на случай, когда суммирование слабо зависимых случайных величин ведется по произвольным конечным множествам, а не только по «целочисленным параллелепипедам». В параграфе 3.3 теорема Морица и результат параграфа 3.2 используются для доказательства нового максимального неравенства.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [22], [23], [24], [25], [46]. В работе [46] А. В. Булинскому принадлежат постановка задачи и подход к получению моментного неравенства. Все остальные результаты получены Н. Ю. Крыжановской самостоятельно.

Результаты диссертации докладывались автором на XXVIII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2006 г.), конференции «Колмогоровские чтения-VI» (Ярославль,.

2008 г.), на Городском семинаре, но теории вероятностей (Санкт-Петербург,.

2009 г., руководитель: академик РАН И. А. Ибрагимов), на Большом кафедральном семинаре кафедры теории вероятностей (мехмат МГУ, 2009 г., руководитель: член-корреспондент РАН А. Н. Ширяев), а также в 20 052 008 годах на семинаре «Асимптотический анализ случайных процессов и полей» (мехмат МГУ, руководители: профессор А. В. Булинский и доцент А. П. Шашкин).

Автор благодарна своему научному руководителю профессору А. В. Булинскому за постановку задач, постоянное внимание к работе и ценные советы, а также доценту А. П. Шашкину за полезные замечания.

1. Р. Барлоу, Ф. Прошан, Статистическая теория надежности и испытания на безотказность, М., Наука, 1984.

2. Ю. Ю. Бахтин, А. В. Булинский, Моментные неравенства для сумм зависимых мультииндексированных случайных величин, Фундам. и прикл. матем., 1997, Т. 3, № 4, С. 1101−1108.

3. П. Биллингсли, Сходимость вероятностных мер, Наука, М., 1977.

4. А. В. Булинский, Предельные теоремы в условиях слабой зависимости, Изд-во МГУ, М., 1989.

5. А. В. Булинский, Асимптотическая гауссовость квазиассоциирован-ных векторных случайных полей, Обозрение прикладной и промышленной математики, 2000, Т. 7, № 2, С. 482−483.

6. А. В. Булинский, Статистический вариант центральной предельной теоремы для векторных случайных полей, Мат. заметки, 2004, Т. 76, № 4, С. 490−501.

7. А. В. Булинский, М. А. Вронский, Статистический вариант центральной предельной теоремы для ассоциированных случайных полей, Фундам. и прикл. матем., 1996, Т. 2, № 4, С. 999−1018.

8. А. В. Булинский, Э. Шабанович, Асимптотическое поведение некоторых функционалов от положительно и отрицательно зависимых случайных полей, Фундам. и прикл. матем., 1998, Т. 4, № 2, С. 479−492.

9. А. В. Булинский, А. П. Шашкин, Предельные теоремы для ассоциированных случайных полей и родственные системы, ФИЗМАТЛИТ, М., 2008.

10. М. А. Вронский, Скорость сходимости в УЗБЧ для ассоциированных последовательностей и полей, Теория вероятн. и ее примен., 1998, Т. 43, № 3, С. 439−455.

11. В. Ф. Гапошкин, Оценки моментов для интегралов от /э-перемешивающихся случайных полей, Теория вероятн. и ее примен., 1991, Т. 36, № 2, С. 262−273.

12. Б. В. Гнеденко, А. Н. Колмогоров, Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, ГТТИ, M.-JI., 1949.

13. В. В. Городецкий, Центральная предельная теорема и прицип инвариантности для слабо зависимых случайных полей, ДАН, 1984, Т. 276, № 3, С. 528−531.

14. Л. Деврой, Л. Дьерфи, Непараметрическое оценивание плотности. Li-подход, Мир, М., 1988.

15. Р. Л. Добрушин, Гиббсовские случайные поля для решетчатых систем с взаимодействием, Функц. анализ и его приложения, 1968, Т. 2, № 4, С. 31−43.

16. Е. Б. Дынкин, Марковские процессы, Физматгиз, М., 1963.

17. В. А. Епанечников, Непараметрическая оценка многомерной плотности вероятности, Теория вероятностей и ее применения, 1969, Т. 14, № 1, С. 156−161.

18. В. М. Золотарев, Современная теория суммирования независимых случайных величин, Наука, М., 1986.

19. И. А. Ибрагимов, Ю. В. Лииник, Независимые и стационарно связанные величины, Наука, М., 1965.

20. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, ФИЗМАТЛИТ, М., 2004.

21. Г. Крамер, Математические методы статистики, Наука, М., 1975.

22. Н. Ю. Крыжановская, Статистический вариант ЦПТ для векторных слабо зависимых полей, Конференция молодых ученых. Труды XXVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ, Часть I, Изд-во ЦПИ мехмата МГУ, М., 2006, С. 102−106.

23. Н. Ю. Крыжановская, Моментное неравенство для сумм мультиин-дексированных зависимых случайных величин, Матем. заметки, 2008, Т. 83, № 6, С. 843−856.

24. Н. Ю. Крыоюановская, Моментное и максимальное неравенства для сумм мультииндексированных случайных величин, Колмогоровские чтения VI, Ярославль, 2008, С. 107−114.

25. Н. Ю. Крыжановская, Ядерные оценки долгосрочной матрицы ковариаций случайного поля, Успехи матем. наук, 2009, Т. 64, № 1, С. 153— 154.

26. М. А. Лифшиц, Секционирование многомерных множеств, Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятностей, Изд-во ЛГУ, JT., 1986, С. 175−178.

27. М. Маркус, X. Минк, Обзор по теории матриц и математических неравенств, Наука, М., 1972.

28. Н. В. Миллионщиков, Асимптотическая нормальность оценок регрессии для слабозависимых случайных полей, Вестник МГУ, Серия 1, «Математика. Механика», 2005, № 2, С. 3−8.

29. Н. В. Миллионщиков, Сходимость почти наверное ядерных оценок плотности для слабо зависимых случайных полей, Успехи матем. наук, 2006, Т. 61, № 1, С. 181−182.

30. В. В. Петров, Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин, Наука, М., 1987.

31. К. Престон, Гиббсовские состояния на счетных множествах, Мир, М., 1977.

32. Ю. А. Розанов, Марковские случайные поля, Наука, М., 1981.

33. В. В. Сенатов, Центральная предельная теорема. Точность аппроксимации и асимптотические разложения, Либроком, 2009.

34. Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, Физматлит, М., 2003.

35. А. П. Шашкин, Квазиассоциированность гауссовской системы случайных векторов, Успехи матем. наук, 2002, Т. 57, № 6, С. 199−200.

36. А. П. Шашкин, Максимальное неравенство для слабо зависимого случайного поля, Матем. заметки, 2004, Т. 75, № 5, С. 773−782.

37. А. Н. Ширяев, Вероятность, МЦНМО, М., 2004.

38. D. W. К. Andrews, Non-strong mixing autoregressive processes, J. Appl. Prob., 1984, V. 21, P. 930−934.

39. D. W. K. Andrews, Heteroskedasticity and autocorrelation consistent covariance matrix estimation, Econometrica, 1991, V. 59, № 3, P. 817— 858.

40. P. Ango Nze, P. Buhlmann, P. Doukhan, Weak dependence beyond mixing and asymptotics for nonparametric regression, Ann. Statist., 2002, V. 30, № 2, P. 397−430.

41. P. Ango Nze, P. Doukhan, Weak dependence: models and applications to econometrics, Econometric Theory, 2004, V. 20, № 6, P. 995−1045.

42. E. Bolthausen, On the central limit theorem for mixing random fields, Ann. Probab., 1982, V. 10, № 4, P. 1047−1050.

43. R. C. Bradley, On positive spectral density functions, Bernoulli, 2002, V. 8, № 2, P. 175−194.

44. A. V. Bulinski, On the convergence rates in the CLT for positevely or negatively dependent random fileds, In.: Probab. Theory and Math. Statist., I. A. Ibragimov and A.Yu. Zaitsev (Eds.) Gordon and Breach (1996), P. 3−14.

45. A. Bulinski, A. Khrennikov, Generalization of the critical volume NTCP model in the radiobiology, Universite P. et M. Curie Paris-6, CNRS U.M.R. 7599, Probabilites et Modeles Aleatoires, republication, PMA-977, 2005, Preprint, Paris-6, P. 1−13.

46. A. Bulinski, N. Kryzhanovskaya, Convergence rate in CLT for vector-valued random fields with self-normalization, Probab. Math. Statist., 2006, V. 26, № 2, P. 261−281.

47. A. V. Bulinski, A. P. Shashkin, Rates in the central limit theorem for dependent multiindexed random vectors, J. Math. Sci., 2004, V. 122, P. 3343−3358.

48. A. V. Bulinski, A. P. Shashkin, Strong invariance principle for dependent random fields, IMS Lect. Notes — A/Ionograph Series Dynamics and Stochastics, 2006, V. 48, P. 128−143.

49. A. Bulinski, C. Suquet, Normal approximation for quasi-associated random fields, Statist. Probab. Lett., 2001, V. 54, № 2, P. 215−226.

50. R. Burton, A. R. Dabrowski, H. Dehling, An invariance principle for weakly associated random vectors, Stoch. Proc. Appl., 1986, V. 23, № 2, P. 301−306.

51. R. Burton, E. Waymire, The central limit problem for infinitly divisible random measures, Dependence in Probability and Statistics, Conf. Oberwolfach 1985, Prog. Probab. Stat., 1986, V. 11, P. 383−395.

52. Z. Cai, G. G. Roussas, Smooth estimate of quantiles under association, Statist. Probab. Lett., 1997, V. 36, № 2, P. 275−287.

53. V. Corradi, Deciding between /(0) and /(1) via FLIL-Based Bounds, Mimeo, University of Pennsylvania, 1997.

54. J. T. Cox, G. Grimmett Central limit theorems for associated random variables and the percolation model, Ann. Probab., 1984, V. 12, № 2, P. 514−528.

55. P. Doukhan, Mixing. Properties and examples, Lecture Notes in Statist., V. 85, Springer, New York, 1994.

56. P. Doukhan, G. Lang, Rates in the empirical central limit theorem for stationary weakly dependent random fields, Statist. Inf. Stoch. Proc., 2002, V. 5, P. 199−228.

57. P. Doukhan, S. Louhichi, A new weak dependence condition and application to moment inequalities, Stoch. Proc. Appl., 1999, V. 84, № 2, P. 313−342.

58. J. Esary, F. Proschan, D. Walkup, Association of random variables with applications, Ann. Math. Statist., 1967, V. 38, P. 1466−1474.

59. S. Evans, Association and random measures, Prob. Th. Rel. Fields, 1990, V. 86, № 1, P. 1−19.

60. H. Fischer, History of the Central Limit Theorem: From Laplace to Donsker, Series: Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Springer, 2009.

61. C. Fortuin, P. Kasteleyn, J. Ginibre, Correlation inequalities on some partially ordered sets, Commun. Math. Phys., 1971, V. 22, № 2, P. 89 103.

62. A. R. Gallant, Nonlinear Statistical Models, Wiley, New York, 1987.

63. E. Gine, F. Gotze, On standard normal convergence of the multivariate Student f-statistic for symmetric random vectors, Elect. Comm. in Probab., 2004, V. 9, P. 162−171.

64. E. Gine, F. Gotze, D. Mason, When is the Student i-statistic asymptotically standard normal?, Ann. Probab., 1997, V. 25, № 3, P. 1514−1531.

65. G. Grimmett, Percolation, Springer, Berlin, 1999.

66. M. G. Hahn, M. J. Klass, Matrix normalization of sums of random vectors in the domain of attraction of the multivariate normal, Ann Probab., 1980, V. 8, № 2, P. 262−280.

67. J. Hamilton, Time Series Analysis, Princeton, 1994.

68. В. E. Hansen, Consistent covariance matrix estimation for dependent heterogeneous processes, Econometrica, 1992, V. 60, № 4, P. 967−972.

69. L. P. Hansen, Large sample properties of generalized methods of moments estimators, Econometrica, 1982, V. 50, № 4, P. 1029−1054.

70. R. V. Hogg, E. A. Tanis, Probability and Statistical Inference (7th Edition), Prentice Hall, 2006.

71. R. Holley, Remarks on the FKG inequalities, Commun. Math. Phys., 1974, V. 36, № 3, P. 227−231.

72. B. Jing, H. Liang, Asymptotic properties for estimates of nonparametric regression models based on negatively associated sequences, J. Multivar. Anal., 2005, V. 95, № 2, P. 227−245.

73. К. Joag-Dev, F. Proschan, Negative association of random variables, with applications, Ann. Statist., 1983, V. 11, № 1, P. 286−295.

74. R. M. Jong, A strong consistency proof for heteroskcdasticity and autocorrelation consistent covariance matrix estimators, Econometric Theory, 2000, V. 16, № 2, P. 262−268.

75. R. M de Jong, J. Davidson, Consistency of kernel estimators of heteroscedastic and autocorrelated covariance matrices, Econometrica, 2000, V. 68, № 2, P. 407−423.

76. M.-L. T. Lee, S. T. Rachev, G. Samorodnitsky, Association of stable random variables, Ann. Probab., 1990, V. 18, № 4, P. 1759−1764.

77. E. L. Lehmann, Some concepts of dependence, Ann. Math. Statist, 1966, V. 37, № 5, P. 1137−1153.

78. S. Louhichi, Moment inequalities for sums of certain dependent random variables, Теор. вероятн. и ее применения, 2001, Т. 47, № 4, С. 747−763.

79. Z. Lu, X. Chen, Spatial kernel regression estimation: weak consistency, Statist. Probab. Lett., 2001, V. 68, № 2, P. 125−136.

80. R. A. Mailer, Quadratic negligibility and the asymptotic normality of operator normed sums, J. Multivar. Anal., 1993, V. 44, № 2, P. 191−219.

81. R. A. Mailer, M. J. Klass, H. Т. V. Vu, On the Studentization of random vectors, J. Multivar. Anal., 1996, V. 57, P. 142−155.

82. D. L. MeLeish, On the Invariance Principle for Nonstationary Mixingales, Ann. Probab., 1977, V. 5, № 4, P. 616−621.

83. A. Mokkadem, М. Pelletier, The law of the iterated logarithm for the multivariate kernel mode estimator, Probab. and Statist., 2003, V. 7, P. 1−21.

84. F. Moricz, A general moment inequality for the maximum of the rectangular partial sums of multiple series, Acta Math. Hung., 1983, V. 41, № 3−4, P. 337−346.

85. W. K. Newey, K. D. West, A simple positive semi-definite, heteroskedasticity and autocorrelation consistent covariance matrix, Econometrica, 1987, V. 55, № 3, P. 703−708.

86. С. M. Newman, Normal fluctuations and the FKG inequalities, Commun. Math. Phys., 1980, V. 74, № 2, P. 119−128.

87. С. M. Newman, Asymptotic independence and limit theorems for positively and negatively dependent random variables, Inequalities in Stat, and Probab. (Y. L. Tong, ed.), Hayward, 1984, P. 127−140.

88. U. Pantle, V. Schmidt, E. Spodarev, On the estimation of integrated covariance functions of stationary random fields, preprint, University of Ulm (Germany), Department of Stochastics.

89. E. Parzen, Remarks on some nonparametric estimates of density function, Ann. Math. Statist., 1962, V. 27, P. 832−837.

90. E. Parzen, On consistent estimates of the spectrum of a stationary time series, Ann. Math. Statist., 1957, V. 28, P. 329−348.

91. M. Peligrad, Q.-M. Shao, Self-normalized central limit theorem for sums of weakly dependent random variables, J. Theor. Probab., 1994, V. 7, № 2, P. 309−338.

92. P. С. B. Phillips, Time series regression with a unit root, Econometrica, 1987, V. 55, № 2, P. 277−301.

93. L. D. Pitt, Positively correlated normal variables are associated, Ann. Probab., 1982, V. 10, № 2, P. 496−499.

94. C. J. Preston, A generalization of FKG inequalities, Commun. Math. Phys., 1974, V. 36, № 3, P. 232−241.

95. M. B. Priestley, Basic consideration in the estimation of spectra, Technometrics, 1962, V. 4, P. 551−564.

96. M. B. Priestley, Spectral analysis and time series, Probab. and Math. Statist., Academic Press, San Diego, 2001.

97. C. Prieur, Estimation de la densite invariante de systemes dynamiques en dimension 1, C. R. Acad. Sci. Paris, 2001, V. 332, Serie I, P. 761−764.

98. M. Rosenblatt, On estimation of a probability density function and mode, Ann. Math. Statist., 1956, V. 33, № 3, P. 1065−1076.

99. G. G. Roussas, Nonparametric regression estimation under mixing conditions, Stoch. Proc. Appl., 1990, V. 36, P. 107−116.

100. S. J. Sepaiiski, Probabilistic characterizations of the generalized domain of attraction of the multivariate normal law, J. Theor. Probab., 1994, V. 7, № 4, P. 857−866.

101. А. P. Shashkin, A weak dependence property of a spin system, Transactions of XXIV International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, Yurmala, Latvia, 2004, P. 30−35.

102. H. White, Asymptotic Theory for Econometricians, Academic Press, New York, 1984.

103. M. J. Wichura, Inequalities with applications to the weak convergence of random processes with multi-dimensional time parameters, Ann. Math. Stat., 1969, V. 40, № 2, P. 681−687.

104. J. Zhang, Empirical likelihood for NA series, Statist. Probab. Lett., 2006, V. 76, № 2, P. 153−160.