Исследование задачи Вышнеградского при некулоновой модели сухого трения

Комплексная автоматизация технологических процессов и производств является решающим фактором повышения надежности и безопасности работы транспорта, технико-экономических показателей работы технических средств, производительности труда и улучшения качества продукции. Снижение удельной массы машин и механизмов, интенсификация их рабочего процесса выдвигают повышенные требования к проектированию средств автоматизации по учету факторов, оказывающих влияние на надежную работу технических средств непосредственно у границ своей максимально возможной энергонапряженности.

Одним из таких факторов является сухое трение в элементах локальных автоматических систем широкого назначения, заполняющих нижний уровень в иерархической структуре комплексной автоматизации технологических процессов и производств и выполняющих непосредственные функции по управлению и регулированию. Динамика большинства таких систем при определенных упрощающих допущениях соответствует основной задаче теории прямого регулирования — задаче Вышнеградского.

Среди явлений, связанных с автоматическим управлением и регулированием, большой научный и практический интерес представляет самовозбуждение механических автоколебаний в автоматических системах. Нередко причиной возникновения этих механических автоколебаний (если только они не вызваны специальными мерами) является сухое трение в элементах управляющих и регулирующих устройств.

Большинство известных аналитических исследований проблемы влияния сухого трения на устойчивость автоматических систем было осуществлено с учетом кулоновской модели сухого трения (кулоновского трения), что позволило в некоторых практически важных случаях получить строгое определение влияния кулоновского трения на устойчивость авто5 матических систем. Однако, известны случаи возбуждения автоколебаний, которые не могут быть объяснены с позиции кулоновского трения [1].

В связи со сказанным, исследование задачи Вышнеградского при не-кулоновой аппроксимации закона сухого трения является актуальным.

Основным отличием некулоновской идеализации является превышение сил трения покоя над силами трения движения. Учет некулоновского трения в задаче Вышнеградского приводит к динамической модели с переменной структурой, относящейся к классу логико-динамичсеких систем. Такие системы могут иметь сложную структуру фазового пространства с наличием в нем предельных циклов, устойчивых притягивающих множеств, исследование которого приводит к определенным трудностям аналитического и вычислительного характера.

Исследование задачи Вышнеградского при некулоновой модели сухого трения сводится к следующему: создать непротиворечивую модель, адекватно отображающую влияние сухого трения на устойчивость автоматических систем этого класса, по возможности доступную аналитическому исследованиюаналитически обосновать влияние некулоновского сухого трения на устойчивость этих системвыявить возможные режимы (в первую очередь автоколебательные), возникающие в системах и обусловленные наличием некулоновского сухого трения в элементах системисследовать средствами вычислительного эксперимента пространство параметров (коэффициентов) на предмет выделения в нем областей с качественно отличным динамическим поведением системыопределить «механизм» влияния основных параметров (коэффициентов) модели на возникновение того или иного динамического режима в системеподтвердить результаты аналитического исследования и корректность исходной математической модели вычислительным и натурным экспериментами.

В пространстве параметров определить области качественно отличных динамических режимов. Подтвердить результаты аналитического исследования компьютерным экспериментом (цифровая вычислительная ма6 шина), физическим экспериментом (аналоговая вычислительная машина), а также качественным экспериментом (механическая модель).

В первом разделе работы рассматриваются условия проявления сухого трения, обзор исследований этого физического явления, различные его аппроксимации (идеализации), приводится традиционная формулировка и обзор исследований задачи Вышнеградского, анализ результатов, полученных в этих работах, дается математическая постановка задачи Вышнеградского при некулоновой аппроксимации сухого трения, приводится описание принятых методов исследования, к которым относятся методы теории нелинейных колебаний, разрывных (релаксационных) колебаний, метод точечных отображений на фазовой плоскости, методы вычислительного эксперимента (компьютерного моделирования), формулируется задача и цели исследования.

Во втором разделе с помощью теории разрывных колебаний задача сводится, к так называемой, приведенной математической модели, которая позволяет провести строгое аналитическое исследование методом точечных отображений на фазовой плоскости. На основе проведенного аналитического исследования делаются выводы в отношении влияния некуло-новского сухого трения на устойчивость систем, относящихся к исходной задаче, определяются типы автоколебательных режимов, вызываемых в системах присутствием некулоновского сухого трения, условия их возникновения и области существования, приводится разбиение пространства параметров приведенной модели на области качественно отличного поведения системы в обобщенных коэффициентах (параметрах), а потом приведено это же разбиение в исходных коэффициентах, приводится исследование приведенной модели, поставленной задачи, методами машинного (компьютерным и аналоговым) моделированием.

В третьем разделе производится исследование полной задачи Вышнеградского методом компьютерного моделирования и натурным экспериментом. Определяются все типы движений, присущих задаче при некуло-I новом трении, условия их возникновения и области существования. При 7 этом используются аналитические результаты, полученные при исследовании приведенной модели. Все результаты, полученные методом компьютерного моделирования, сравниваются с результатами аналогового моделирования на электронной модели.

В приложениях приведены программы, написанные в среде Turbo Pascal 7.0, используемые в работе для моделировании динамики, разбиения пространства обобщенных параметров и коэффициентов на области качественно отличного динамического поведения систем, относящихся к задаче Вышнеградского.

ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ В ЦЕЛОМ.

Исследование задачи Вышнеградского в работе осуществлялось следующим образом. Вначале была построена новая математическая модель задачи Вышнеградского, учитывающая в законе сухого трения превышение сил трения покоя над силами трения движения (некулоновская аппроксимация). Затем данная математическая модель (полная модель) задачи Вышнеградского при некулоновской аппроксимации сухого трения (2.1) с помощью теории релаксационных колебаний была приведена к так называемой приведенной математической модели (2.3).

Упрощенная математическая модель задачи Вышнеградского исследовалась точным аналитическим методом — методом точечных отображений на фазовой плоскости.

В результате исследования для приведенной модели были получены определяющие динамическое поведение системы аналитические соотношения, которые имеют наглядную геометрическую интерпретацию в виде разбиения пространства обобщенных параметров (или исходных коэффициентов) на области, соответствующие различным режимам работы системы. Все границы полученных областей были определены аналитически точно. Разбиение позволило увидеть возможные для данной системы режимы, понять зависимость существования того или иного режима от значений коэффициентов, либо по смене режима судить об изменении того или иного параметра (коэффициента). Анализ полученных аналитических соотношений позволил в отношении приведенной модели сделать следующие основные выводы.

1). В случае, если по устойчивости объект управления является нейтральным (0 = 0), система всегда автоколебательна вне зависимости от значений остальных коэффициентов. Состояния равновесия неустойчивы, на фазовой плоскости системы существует устойчивый предельный цикл. Возбуждение автоколебаний происходит при любых начальных отклоне.

190 ний — областью притяжения предельного цикла является вся фазовая плоскость системы.

2). В случае устойчивого объекта управления (0>О) в зависимости от значений своих коэффициентов система может быть либо устойчивой в целом (области 1а и 16), либо автоколебательной (области 2а, 26, 36 и 46). Для определенного соотношения коэффициентов (области 36 и 46) возбуждение автоколебаний происходит при любых начальных отклонений достаточных для приведения в движение регулирующего устройства (областью притяжения предельного цикла является вся фазовая плоскость системы). Для другого соотношения коэффициентов (области 2а и 26) возбуждение автоколебаний происходит не при любых начальных отклонений достаточных для приведения в движение регулирующего устройства. Областью притяжения предельного цикла является лишь часть фазовой плоскости системы (см. рис.2.25 и 2.29).

3). Увеличение основных коэффициентов настройки системы у и Та определенно способствует устойчивости системы. Изменение коэффициентов Та, Тк, 0 по отдельности в ту или другую сторону может как способствовать устойчивости так и вызывать автоколебания, что связано с влиянием значений остальных коэффициентов (см. рис. 2.46 — 2.49). В соответствии с теорией релаксационных колебаний (применение гипотезы скачка) все движения, наблюдаемые в приведенной модели, должны существовать и в полной модели хотя бы в малой окрестности этих движений.

Теоретические выводы, полученные для приведенной модели были распространены на полную модель, что позволило успешно провести вычислительный эксперимент и осуществить разбиение пространства обобщенных параметров на области качественно различного динамического поведения. При этом получены новые для рассматриваемой проблемы области динамического поведения, обусловленные наличием некулоновского трения.

Согласно этому в отношение полной модели задачи Вышнеградского делаются следующие заключения.

4). Некулоновское трение в полной модели задачи Вышнеградского вызывает автоколебания. Характер автоколебаний в некоторой области сохраняет характер автоколебаний приведенной модели.

5). Область автоколебаний. В обобщенных параметрах область располагается в пространстве, где для кулоновского трения система устойчива.

6). Область автоколебаний при ограниченных начальных отклонениях от состояний равновесия и неустойчивости при больших отклонениях. Область располагается в пространстве, где для кулоновского трения система была условно устойчива (устойчива при ограниченных начальных отклонениях неустойчива при больших отклонениях).

7). Помимо этих областей в системе также как и при кулоновском трении присутствуют область устойчивости в целом (только при устойчивом объекте управления) и область неустойчивости. При нейтральном по устойчивости объекте области устойчивости нет.

8). Наибольшая область автоколебаний при <2=1'. При увеличении параметра (11! —> Ь) область автоколебаний сужается. Автоколебания связаны лишь с превышением ¿-ил трения покоя над силами трения движения и не зависят от их конкретной величины. При С)= со (Ь| = Ь) автоколебания отсутствуют и задача соответствует задаче при кулоновской аппроксимации сухого трения.

Таким образом с помощью приведенной модели аналитически обосновывается влияние некулоновского сухого трения на возникновение автоколебаний в динамических системах, относящихся к задаче Вышнеградского. Также с помощью приведенной модели обосновывается наличие автоколебательных режимов с определенными свойствами :

— автоколебания (по переменной х) амплитуда, которых определяется шириной отрезка равновесия и не зависит от значения параметров (коэффициентов) в области их наблюдения, данные колебания могут возникать как при любых начальных отклонениях (все фазовое пространство исходной задачи), так и при определенных начальных отклонениях областью притяжения является часть фазового пространства исходной задачи);

— автоколебания амплитуда, которых зависит от значений параметров (коэффициентов) в области их наблюдения.

При исследовании задачи Вышнеградского (методами машинного моделирования) режимов отличных от режимов присущих приведенной модели выявлено не было.

Влияние основных коэффициентов (у, Т^, Та, Тк, 0) на возникновение того или иного режима в системе соответствует влиянию параметров системы в приведенной модели.

В тех случаях, когда трудно с достаточной точностью оценить соотношение сил трения покоя и трения движения, либо когда это соотношение не сохраняется постоянным в процессе эксплуатации системы, гарантией устойчивой работы системы является проектирование ее с параметрами, соответствующими области устойчивости при <2=1, что является достаточным условием устойчивости независимо от величины сил трения.

Расположение рабочей точки должно выбираться достаточно далеко от границ требуемой области для обеспечения необходимого запаса, компенсирующего влияние неучтенных факторов, погрешностей в определении исходных коэффициентов, и возможные изменения параметров системы в процессе ее эксплуатации.

Все результаты полученные аналитически были подтверждены моделированием динамики на аналоговой и цифровой вычислительной технике, а также натурным экспериментом.