Потенциал электрического поля

Пусть задано скалярное поле / = /(г). Вектор, декартовы координаты которого равны производным.

называют градиентом функции / = /(г) и обозначают grad/, или V/:

где I, j, к — единичные орты, определяющие направление координатных осей в выбранной декартовой системе координат, символ V (набла) обозначает линейный оператор, определяемый формулой.

Векторное поле силы F = /'(г), действующей на некоторую частицу, называют консервативным, если существует скалярная функция V = U(г) такая, что При этом функцию U = U(г) называют потенциальной энергией частицы.

Покажем, что сила (1.5), с которой точечный заряд Q, действует на пробный заряд q, является консервативной. Для этого предположим, что потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов Q, и q определяется формулой Вычислим градиент этой функции. Имея в виду зависимость (1.6), нетрудно проверить, что частная производная.

Аналогично вычисляются частные производные по у и г. С учетом этих формул получим равенство.

Таким образом, доказано, что кулоновское силовое поле является консервативным, а потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов определяется формулой (1.14).

Преобразуем правую часть равенства (1.7), которое выражает собой принцип суперпозиции, при помощи формулы (1.15):

Величина.

есть потенциальная энергия взаимодействия точечного заряда q с системой зарядов Q{. Теперь равенство (1.16) принимает вид (1.13). Из этого можно заключить, что сила F (г), с которой произвольная система неподвижных зарядов действует на пробный заряд q_t помещенный в точку Р (г), является консервативной.