Модели и методы одномерной оптимизации

Однопарамстричсская оптимизация (поиск экстремумов функций одной переменной) — наиболее простой тип оптимизационных задач. Эти задачи могут быть как самостоятельными, так и частью более сложных задач поиска экстремума функции многих переменных.

Напомним постановку задачи одномерной безусловно оптимизации (1.4):

Ограничения отсутствуют, К = J — О, D = R', т. е. задача без ограничений с одномерным вектором. Вид f (x) произвольный.

Методы одномерной оптимизации могут быть разделены на три группы.

• 1. Методы исключения интервалов (сокращение интервала неопределенности).
• 2. Методы точечного оценивания на основе полиномиальной аппроксимации.
• 3. Методы с использованием производных.

Методы исключения интервала неопределенности

Эта группа методов может использоваться как для непрерывных, гак и для разрывных и дискретных функций, рис. 2.1.

Рис. 2.1. Типы данных

Методы исключения интервала предъявляют к оптимизируемой функции единственное требование унимодальности. Кроме того, необходимо иметь возможность определения значений /(х).

Основная идея интервальных методов основана на теореме исключения интервалов, графическая интерпретация которой приведена на рис. 2.2.

Теорема исключения интервалов. Пусть функция /(х) унимодальная функция, определенная на [н,/>, их*- минимум этой функции. Тогда для Vx, < х₂ е [н,/>] выполняется одно из условий:

• а) если /(Х|) > /(х₂) —" х* е (х, А);
• б) если /(х,) </(х₂) —> х*€ (а, х₂);
• в) если /(х,) = /(х₂) -> х* е (х, х₂).

Рис. 2.2. Геометрическая иллюстрация теоремы интервалов

Данная теорема дает правило последовательного исключения частей исходного интервала, включающее три этапа:

I. Установление первоначального интервала неопределенности.

II. Уменьшение интервала неопределенности по выбранному алгоритму.

III. Оценка экстремума с заданной точностью.

Установление первоначального этапа обычно носит эвристический характер, на основе опыта и интуиции исследователя, либо из физических характеристик процесса.

II этап — уменьшение границ оптимизации — собственно и включает сам метод поиска экстремума. Ниже рассмотрены основные методы одномерной оптимизации.