Логицизм. 
Математика как создание логически очевидных конструкций

Одним из самых фундаментальных и вместе с тем удивительных свойств математики называют необходимость ее утверждений. Объясняя это свойство, Лейбниц указал на четыре особенности логических и математических суждений, которые сыграли впоследствии решающую роль в становлении программы логицизма.

Во-первых, логические и математические истины необходимы, потому что их логическое отрицание ведет к противоречию. Отрицать, что «холостяки есть неженатые мужчины» или «2 + 2 = 4», означает утверждать противоречие.

Во-вторых, логические и математические истины как истины разума допускают в конечное число шагов редукцию к «тождественным истинам»^[1]. Например, доказать суждение «2 + 2 = 4» означает свести его к тождеству вида «1 = 1». Ненеобходимые (случайные) истины подобны несоизмеримым отрезкам, и их редукция к истинам тождества нуждается поэтому в бесконечном числе шагов и доступна только Богу.

В-третьих, редукция логических и математических истин к истинам тождества требует построения формального исчисления для вывода следствий из принятых аксиом. «Мне же, беспокойному, уже давно со всей очевидностью представилось и нечто более важное, а именно, что все человеческие мысли вполне разрешаются на немногие, как бы первичные; что если бы этим последним были поставлены в соответствие характеры (символы. — В. С), то из них могли бы образовываться характеры производных понятий, из которых всегда могли бы извлекаться все их реквизиты и входящие в них первичные понятия, и то, что я называю определениями или значениями, а равным образом и следствия, доказуемые из этих определений. Если бы все это было осуществлено, то каждый, кто пользовался бы в процессе рассуждения и писания такого рода характерами, либо никогда не ошибался бы, либо сам не хуже других с помощью несложных выкладок обнаруживал свои ошибки; к тому же, он приходил бы к открытию истины, поскольку она следует из данных…»^[2]

В-четвертых, будучи аналитическим по своей сути, критерий необходимости Лейбница придает логике и математике автономный характер, принципиально отделяет их от всех остальных наук. Проблема обоснования логики и математики, в отличие от всех остальных наук, становится сугубо внутренним делом данных дисциплин. Они не нуждаются в обращении к опыту, интуиции, психологии восприятия (познания).

Идеи Канта о синтетическом характере математических суждений, конструктивной природе математического знания, независимости математики от логики не поколебали уверенности логицистов конца XIX и начала XX вв. в аналитическом характере математики и логики, но потребовали от них дополнительного прояснения вопроса о соотношении между собой логических и математических истин. Учитывая совместимость последних, возможны три варианта их отношений. Либо логические и математические истины образуют один и тот же класс, либо логические истины являются подклассом математических истин, либо, наоборот, математические истины образуют подкласс логических истин. Согласно логицистам первый и второй варианты отпадают, потому что, по их мнению, не каждая логическая истина является математической. Остается третий вариант: математические истины суть логические истины; они — следствия правильно построенного логического исчисления. Вывод новых математических истин совершается механически посредством манипуляции символами из ранее отобранных, названных аксиомами. Все этапы получения нового знания контролируемы, возникновение парадоксов исключается по определению. Ошибки возможны лишь из-за отсутствия должного внимания и легко исправляемы.

• [1] Лейбниц Г. Указ. соч. С. 496.
• [2] Лейбниц Г. Указ. соч. С. 502.