Кинематика материальной точки

Анализ перемещений физических объектов зависит от решаемых задач. Кинематика изучает механическое движение, отвлекаясь от его причин. Простейший объект кинематики — материальная точка. Это одна из идеальных моделей, которые широко используют в физике, чтобы упростить первичное описание явлений.

Материальная точка (частица) есть тело, размерами которого при рассмотрении данного явления можно пренебречь.

При всей огромности Земли (радиус -6,4 • 10³ км) ее среднее расстояние до Солнца таково (-1,5−10⁸ км), что Землю можно считать материальной точкой. Если же нас интересуют причины смены дня и ночи или времен года, то описание ее движения к перемещению материальной точки не сводится.

Понятие «движение» также требует уточнений.^[1]

ВОПРОС. Движетесь ли вы, стоя на автобусной остановке?

ОТВЕТ. На первый взгляд, выделенные слова друг другу противоречат, но, на взгляд водителя проезжающего мимо автомобиля, вы сначала приближаетесь к нему, а затем удаляетесь, а относительно центра Земли вы движетесь по окружности. Это типичное проявление относительности движения, характеристики которого определяются системой отсчета.

Система отсчета — совокупность тела отсчета, системы координат и часов.

От способности переходить из одной системы отсчета в другую зависит не только решение различных задач, но и физическая картина мира (см. гл. 12).

Исторический экскурс Птолемей (ок. 100 — ок. 170)^[2] и его последователи были не в состоянии выйти из системы отсчета, связанной с Землей, полагая, что она центр Вселенной. Такой переход удалось осуществить лишь через много веков польскому астроному, служителю церкви II. Копернику (1473—1543) и поддержавшему идею гелиоцентрической системы итальянскому профессору Г. Галилею (1564—1642), от которого ведут отсчет физики как науки. Церковь заставила пожилого профессора на коленях отрекаться от своих взглядов, но его слова «А все-таки она вертится!» стали символом борьбы пытливой мысли и агрессивного невежества. Только в 1992 г. Церковь сняла с Галилея обвинение в ереси. Тем самым была признана ошибка и в отношении итальянского мыслителя Джордано Бруно (1548—1600), которого сожгли на площади Цветов в Риме. В этом контексте уместно вспомнить и немецкого астронома И. Кеплера (1571 — 1630), который на недоверие всемогущей Церкви реагировал примерно так: «Я могу подождать своего читателя еще сто лет, ведь Бог ждал шесть тысяч лет!».

Начало системы координат чаще всего совмещают с телом отсчета. В одномерной системе достаточно одной координаты. Например, положение пули в стволе при выстреле однозначно определяется ее расстоянием от затвора. В двумерной системе нужны две координаты, например положение населенного пункта на карте определяется широтой и долготой местности, а в трехмерной системе координат нужны уже три числа.

ВОПРОС. Как находят положение объекта в системах GPS, ГЛОНАСС, «Галилео»?

ОТВЕТ. По расстоянию как минимум от трех спутников (четвертый спутник синхронизирует их сигналы).

Положение частицы, например, в точке С (рис. 1.1) можно определить декартовыми координатами х_а у_а z_c или радиус-вектором г_с ^[3]. Его модуль определяет расстояние частицы от начала координат О, а его направление можно задать углами, а и (р, подобно тому как это делают при определении положения воздушной цели (азимут и угол места). Если частица переместилась из точки С в точку М, то изменение ее положения характеризуют перемещением.

Рис. 1.1.

Перемещение — это приращение радиус-вектора частицы:

Между точками С и М частица занимает промежуточные положения.

Воображаемая (иногда и видимая) линия, соединяющая положения, последовательно занимаемые частицей в пространстве, называется траекторией. Расстояние, пройденное частицей вдоль траектории, определяет ее путь.

Понятие материальной точки может быть применимо и к одному из видов движения относительно крупных тел.

Движение, при котором все точки тела описывают одинаковые траектории, называется поступательным.

Если при прямолинейном однонаправленном движении путь s равен модулю перемещения Аг, то при криволинейном движении (см. рис. 1.1) путь больше перемещения, так как длина дуги больше ее хорды. Чем меньше перемещение, тем ближе хорда к дуге.

Любое перемещение Дг требует времени At.

Перемещение частицы в единицу времени определяет ее среднюю скорость:

Поскольку в правой части равенства — вектор Дг, то и в левой — вектор п_ср, сонаправленный с Дг. Средняя скорость — весьма грубая характеристика движения.

Пример 1.1.11усть автомобиль за время At проехал от Смоленска (точка С на рис. 1.1) до Москвы (точка М) через Ржев (точка Р). Очевидно, что формула (1.2) нс отражает его скорости в пределах Смоленска или какой-либо улицы Ржева. Это яркий пример того, что получаемый результат зависит от условий наблюдения, в данном случае — от его длительности.

При At —* 0, т.с. «в краткое мгновение», Дг —? dr, и формула (1.2) принимает вид.

т.е. мгновенная скорость есть производная перемещения по времени.

Направление вектора v очевидно из рис. 1.1: по касательной к траектории в данной се точке. Например, искры при заточке резца летят по касательной к окружности точильного камня.

Как и всякий вектор, вектор и может быть спроецирован на любое направление, выбор которого зависит от условий конкретной задачи.

Модуль мгновенной скорости определяется модулем бесконечно малого перемещения dr = ds:

Производная функции s (t) зависит от ее вида. При s = Ct³ получаем v = 3Ct². Пусть тело равномерно движется вдоль одной координаты. Тогда s = = r — r₀ = Ct, где г₀ — модуль радиус-вектора частицы при t = 0 (рис. 1.2, а). Отсюда.

Пример 1.2. Пользуясь рис. 1.2, а, определим графический смысл модуля скорости.

Решение. Из формулы (1.2) и рис. 1.2, а следует, что к_ср численно равна tga. При произвольной траектории (рис. 1.2, б) с уменьшением At Аг сливается с касательной к траектории, т. е. dr —? ds. При этом мгновенная скорость v = dr/dt численно равна тангенсу наклона касательной к траектории в данной точке.

Изменение скорости во времени характеризуют ускорением.

Средним ускорением называют приращение скорости за единицу времени:

Устремляя At к нулю, получим.

т.е. мгновенное ускорение есть производная скорости по времени.

Поскольку скорость — вектор, изменяться могут и модуль, и направление. Для удобства анализа представим их раздельно: v = vx, где т — вектор единичной длины, имеющий направление вектора о Тогда формула (1.7) становится производной произведения:

Первый вектор правой части параллелен вектору т — по касательной к траектории. Его называют тангенциальным ускорением.

Тангенциальное ускорение а_г определяет изменение модуля скорости и направлено по касательной к траектории.

При dv/dt. > 0 вектор a_t сонаправлен с вектором т (рис. 1.3, а), а при dv/dt < 0 антипараллелен ему. Если скорость изменяется линейно: v = v₀ + Bt, то dv/dt = В = а_х и.

Рис. 1.3.

При а_х > 0 движение равноускоренное, а при а_х < 0 — равнозамедленное. Вектор а_г — это то линейное ускорение, ради которого создают двигатели, пороховые заряды и т. д.

Второй вектор правой части равенства (1.8) характеризует изменение вектора т. Поскольку он имеет единичный модуль, оно возможно только в отношении его направления при криволинейной траектории частицы. Всякий ее малый участок можно рассматривать как дугу окружности, центр О которой называют центром кривизны (см. рис. 1.3, а). Приращение Дт = т₂ -т, легко получить путем совмещения начал этих векторов в точках В и А траектории. Поскольку треугольники BCD и ОАВ подобны, Дх/х = Аг/г, т. е. Дх = Аг/г, так как х = 1. Разделив обе части этого равенства на At, получим Дх/Дt = Ar/(jAt), а при At —* 0 получаем.

где учтено соотношение (1.4). Таким образом, модуль второго вектора в правой части формулы (1.8) принимает вид v²/r, а его направление совпадает с направлением вектора dx.

Нормальное (центростремительное) ускорение направлено к центру кривизны траектории (см. рис. 1.3, 6) и определяется выражением.

ВОПРОС. Каково направление вектора dx?

ОТВЕТ. Направление можно получить двумя способами.

• 1. Как и всякий вектор, dx можно разложить на составляющие. Если предположит!", что одна из них параллельна вектору т, то она изменяла бы его модуль, что невозможно по определению. Следовательно, вектор dx может быть только ортогонален вектору х (вектору и), т. е. он направлен по радиусу к центру О кривизны траектории. Это направление характеризуют единичным вектором п (рис. 1.3,6).
• 2. Как следует из рис 1.3, а, при At —*• О, В —>• Л, Дт —" dx.

Полное ускорение, а есть сумма тангенциального и нормального ускорений:

Направление вектора полного ускорения находится в пределах угла п/2 между направлениями а. и а" и зависит от соотношения их модулей. Его модуль равен Выражения (1.4), (1.7), (1.11) обеспечивают решение множества задач кинематики, но существует также класс обратных задач: как по зависимости v (t) определить пройденный путь или по зависимости a (t) найти скорость?

Как следует из формулы (1.6), при v = v_c = const Ar = As = vAt, т. е. путь равен площади, заштрихованной на рис. 1.4, а. Этот графический смысл As позволяет определять путь и при других видах движения. Например, линейную зависимость v (t) (равноускоренное движение) можно приближенно представить в виде ломаной линии (рис. 1.4, б). Это предполагает, что в течение малого At, v, = const, затем скачком меняется до v_j+l и т. д. Тогда путь, пройденный в интервале 0 — определяется суммой площадей таких прямоугольников:

Чем меньше At_jf тем ближе ломаная к прямой, а выражение (1.13) ближе к площади трапеции Ov₀vt (см. рис. 1.4, б): s = (v₀ + v)t/2. Подставляя v из выражения (1.9), получаем известную формулу.

Ее можно получить не только более точным, но и универсальным способом, позволяющим определять путь при разных v (t). При переходах At —* dt, As —* ds операция суммирования в формуле (1.13) превращается в операцию интегрирования:

Здесь знак интеграла J заменяет знак суммы ^а обозначения под и над знаком интеграла указывают, в каких пределах изменяется подынтегральная переменная. Как следует из формулы (1.15), путь зависит от вида подынтегральной функции v (t). Если, в частности, она имеет вид (1.9), то в результате интегрирования получаем формулу (1.14).

Аналогичным образом решается задача определения скорости х по известной зависимости a (t). Поскольку из соотношения (1.7) следует равенство dv = adt, то

При равноускоренном движении а = const. Поэтому из формулы (1.16) следует.

• [1] В качестве эпиграфа к каждой главе приводится авторский афоризм.
• [2] 2 «Привязка» ученых ко времени осуществляется в учебнике либо датами жизни, либовременем открытия.
• [3] Здесь и далее векторные величины обозначены прямым жирным шрифтом.