Четвертое уравнение Максвелла

Это уравнение эквивалентно теореме Остроградского — Гаусса (пункт 4.1.5).

где Фо — поток вектора электрической индукции через произвольную замкнутую поверхность S,? Q — алгебраическая сумма зарядов внутри объема, офаниченного этой поверхностью (рис. 6.38).

Рис. 6.38.

Выражая поток через поверхностный интефал вектора D, а сумму зарядов — через объемный интефал от их плотности, получаем интефальную форму уравнения

Используя теорему Гаусса, приводим последнее уравнение к дифференциальной форме.

11олученное выражение — основное уравнение электростатики. Нго физический смысл — источниками потенциального 'электрического поля являются электрические заряды. В левой части стоит индукция всего электрического поля, а не только потенциального, по той причине, что дивергенция вихревого поля автоматически обращается в нуль.

Замыкание системы уравнений Максвелла.

В принципе, система уравнений Максвелла позволяет рассчитать электромагнитное поле в любой ситуации, но для этого систему необходимо замкнуть, т. е. привести в соответствие число уравнений и число неизвестных. Для этого можно использовать, во-первых, связь между напряженностью и индукцией электрического поля (раздел 4.1.2).

где е — диэлектрическая проницаемость среды, ?о — электрическая постоянная. Во-вторых, связаны напряженность и индукция магнитного поля (раздел 5.1.1)

где [i — магнитная проницаемость среды, ро — магнитная постоянная. Важно отметить, что такие простые линейные связи между напряженностью и индукцией имеют место только в изотропных однородных средах. В геологии и геофизике, например, это случается крайне редко.

В-третьих, плотность электрического тока и напряженность электрического поля связаны дифференциальным законом Ома (п. 4.3.11)

где у — удельная электропроводность среды. И эта линейная связь относится к случаю однородной изотропной среды.

Еще одну связь переменных, входящих в уравнения Максвелла, дает закон сохранения заряда. В интегральной форме он имеет вид.

В левой части здесь стоит поток заряда через произвольную замкнутую поверхность, а в правой — утечка заряда из объема, ограниченного этой поверхностью. Используя, как и ранее в подобных случаях, теорему Гаусса, получаем дифференциальную форму закона сохранения заряда.

В заключение отметим, что, строго говоря, деление единого электромагнитного поля на электрическую и магнитную составляющие зависит от выбора системы отсчета и потому субъективно. Поэтому, например, исследуя одно и то же явление, неподвижный наблюдатель может объяснять его действием электрического поля, а движущийся наблюдатель — магнитного, и т. п.