Функции: основные определения и понятия, графики функций. 
Обзор основных элементарных функций

Функция, правильно понятая, есть существование, мыслимое как действие.

И. В. Гёте На всем протяжении жизни человек не перестает иметь дело с многочисленные изменениями, происходящими в окружающем мире. Это имманентное свойство мироздания, человеческих сообществ и отдельно взятой личности было подмечено людьми еще в глубокой древности. В человеческом сознании оно отразилось многообразно — от глубоких и загадочных мыслей философского толка до высказываний игривого характера. Как заметил древнегреческий философ Гераклит: «Panta rhei…» — «Все течет…», а его простодушных и более легкомысленных соплеменников сильнее всего поражало то, как «varium et mutabile semper femina», т. е. как «переменчива женщина и всегда другая». С течением времени изменяются возраст человека, его рост и вес; «соцветие» его близких и знакомых; сумма денег, которую он зарабатывает и тратит, — примеры можно приводить до бесконечности. Величины, претерпевающие изменения и снабженные числовыми значениями, в математике называют переменными. Среди переменных величин можно выделить такие, которые зависят от других переменных величин, являющихся независимыми. Длина пробега автомобиля зависит от количества залитого в бак бензина; количество продукции, произведенной в данной отрасли хозяйства, зависит от размера инвестиций в эту отрасль; число депутатов, избираемых при мажоритарной системе в Государственную Думу от данного города, зависит от численности его населения. Отражая действительность во всех ее материальных проявлениях, математика не осталась в стороне от проблем такого рода. Их выражением является математическое понятие функции (от лат. functio — «исполнение, действие»), важнейшее не только в математике, но и в ее многочисленных приложениях. В расхожем употреблении это слово обычно характеризует круг обязанностей человека («В функции старосты группы входит аккуратное ведение журнала»), какого-либо органа — общественного («Функции оргкомитета определяются регламентом конференции») или анатомического («Основной функцией головного мозга является высшая нервная деятельность») и т.н. В примерах такого рода под словом «функция» мы обычно подразумеваем определенный объем дел, то г или иной перечень возложенных на кого-либо обязанностей сообразно принятым правилам.

Первое знакомство с математическими функциями происходит в школьном курсе алгебры; их дальнейшее, более углубленное изучение, к которому мы приступаем, предполагает твердое знание заложенных ранее основ. Поэтому, прежде чем двигаться дальше, необходимо освежить в памяти и привести в порядок относящиеся к функциям основные определения и понятия, в большинстве своем известные из курса элементарной математики.

Приступая к изучению функций, следует иметь в виду, что для измерения одной и той же математической или физической величины могут применяться различные системы счисления. Приведем пример. В XVIII в. «Путешествие из Петербурга в Москву» (А. Н. Радищева) в кибитке измерялось 600 верстами. В XIX веке для А. Дюма это был путь в 150 лье. Веком позже Г. Уэллс преодолел на этом пути 400 миль. Наш современник из Санкт-Петербурга в Москву проезжает на автомобиле 650 километров. Расстояние одно и то же, но в различных системах отсчета оно измеряется разными числами. Вот как образно в одном из стихотворений высказался на эту тему русский поэт прошлого столетия Леонид Мартынов: «Наш путь в тайгу, непроходимый путь, не верстами — столетьями я мерю». Закончим эту тему на шутливой ноге: пройденный путь, но супермаркету измеряется «на кассе».

Изучив эту главу, студент должен:

знать:

• • определение функции и основные понятия, характеризующие функцию;
• • определение и свойства основных элементарных функций;
• • понятие сложной функции;

уметь:

• • чертить графики основных элементарных функций;
• • иллюстрировать свойства функций графически;

владеть:

• всеми средствами элементарного исследования функций.