Решение уравнений методом Рунге-Кутта

Рассмотрим методику решения дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта на конкретном примере. Пусть задано дифференциальное уравнение с начальным условием:

Требуется определить значение функции и в точке.

Значение шага по времени возьмём равным 0.1.

Видно, что решением уравнения (12.12) является функция и = е¹, значение которой в искомой точке составляет:

Выполним решение уравнения (12.12), используя метод Рунге-Кутта с различными порядками точности, и сравним полученные результаты с истинным решением (следует отметить, что для данного уравнения явный и неявный методы Эйлера неприменимы, так как соответствующие им разностные схемы для уравнения (12.12) будут неустойчивы).

Рассмотрим методику решения уравнения (12.12) методом Рунге-Кутта 2-го порядка с использованием первого набора параметров:

Видно, что ошибка появляется в третьей цифре после запятой.

Рассмотрим методику решения уравнения (12.12) методом Рунге-Кутта 2-го порядка с использованием второго набора параметров:

Видно, что ошибка, как и в предыдущем случае, появляется в третьей цифре после запятой.

Рассмотрим методику решения уравнения (12.12) методом Рунге-Кутта 3-го порядка:

Видно, что ошибка появляется в пятой цифре после запятой. Это наглядно доказывает, что метод Рунге-Кутта 3-го порядка более точен, чем метод Рунге-Кутта 2-го порядка.

Рассмотрим методику решения уравнения (12.12) методом Рунге-Кутта 4-го порядка:

Видно, что ошибка появляется в седьмой цифре после запятой. Это наглядно доказывает, что метод Рунге-Кутта 4-го порядка более точен, чем методы Рунге-Кутта 2-го и 3-го порядка.