Неравенство Коши. 
Математический анализ: определенный интеграл

Лемма 2.2 (неравенство Коши в числовой форме). Пусть а₁, а₂,…, а" и bi, b₂,…, b_n — произвольные неотрицательные числа. Тогда

Доказательство. Воспользовавшись неравенством Коши — Буняковского для чисел, получаем следующую цепочку неравенств:

Отсюда сразу следует неравенство (2.7). Лемма 2.2 доказана. Теорема 2.4 (неравенство Коши в интегральной форме). Пусть функции / и g интегрируемы по Риману на отрезке [а, Ь]. Тогда справедливо неравенство

Доказательство. Так же как в теореме 2.1, разобьем отрезок [а, Ь] на п равных частей. Тогда достаточно доказать неравенство для соответствующих интегральных сумм:

или эквивалентное неравенство.

утверждение немедленно вытекает из результатов леммы 2.2.

Теорема 2.2 доказана.

Замечание 2.5. Если определить для функции /, интегрируемой.

(Ь

на отрезке [а, Ь], понятие нормы: ||/||= jf²(x)dx , то интегральное неравенство Коши есть аналог известного в алгебре неравенства для модулей: ||/ + g||<||/|| + ||g||.

Неравенство Гёльдера

Теорема 2.3 (неравенство Гёльдера в интегральной форме).

Пусть / и g — две произвольные интегрируемые по Риману на отрезке [а, Ь] функции, р и q — два действительных числа, больших единицы,

таких что —+ —= 1. Тогда справедливо неравенство Р Я

Доказательство теоремы можно найти, например, в работе [1, с. 239] или [9, с. 367].

Замечание 2.6. В случае p = q = 2 из неравенства Гёльдера получаем неравенство Коши — Буняковского.