Принцип относительности и законы сохранения

Следует заметить, что величины г, р и Т, для которых записаны законы сохранения импульса, момента импульса и энергии системы соударяющихся частиц, определены относительно произвольной инерциальной системы отсчета. Поэтому эти уравнения будут иметь точно такой же вид при любом выборе инерциальной системы отсчета. Это утверждение находится в полном согласии с принципом относительности Галилея, в силу которого все уравнения динамики инвариантны относительно преобразования Галилея, т. е. их вид не зависит от выбора инерциальной системы отсчета.

При выводе закона сохранения импульса для системы материальных точек было использовано предположение, что действующие в системе внутренние силы подчиняются третьему закону Ньютона. Однако для некоторых типов взаимодействия этот закон может нарушаться. Например, в том случае, когда частицы, взаимодействующие друг с другом на расстоянии посредством силового поля, движутся с большими скоростями, справедливость третьего закона Ньютона может вызывать сомнения. Несмотря на это, закон сохранения импульса выполняется независимо от того, какой характер имеют внутренние силы. В этой связи интересно найти более строгий вывод этого закона. В самом деле, такой вывод существует. Закон сохранения импульса можно получить без ссылки на третий закон Ньютона, основываясь на более строгих и общих утверждениях таких, как принцип относительности Галилея и законы сохранения массы и энергии.

Запишем закон сохранения энергии (5.99) в химической реакции так:

где ттц, Vi и rrik, Vk — массы и скорости частиц до и после реакции соответственно. Пусть щ и Wk ~ скорости частиц до и после реакции в другой инерциальной системе отсчета, которая движется относительно ранее выбранной с постоянной скоростью V. Согласно правилу сложения скоростей (3.8) будем иметь.

Подстановка этих выражений в (5.101) после несложных преобразований приводит к равенству.

Пусть масса частиц, вступающих в реакцию, равна массе частиц, образовавшихся в ходе реакции:

Это утверждение есть закон сохранения массы системы частиц.

Принцип относительности Галилея требует, чтобы закон сохранения энергии в новой системе отсчета имел такой же вид, что и в исходной инерциальной системе отсчета, т. е. кинетическая энергия частиц до реакции в сумме с энергией реакции должна быть равна кинетической энергии частиц после реакции:

При помощи соотношений (5.103) и (5.104) преобразуем равенство (5.102) к виду

Это равенство должно выполняться для любого вектора V. Такое возможно только в том случае, если.

Полученное равенство выражает собой закон сохранения импульса системы материальных точек, записанный по отношению к новой системе отсчета. Принцип относительности Галилея требует, чтобы этот закон имел такой же вид и в любой другой системе отсчета:

Что и требовалось доказать.

Так как в силу принципа относительности Галилея законы сохранения одинаково формулируются для любой инерциальной системы отсчета, с целью достижения наибольшей простоты вычислений следует выбрать систему отсчета, в которой выражающие эти законы уравнении имеют самый простой вид. Такой системой отсчета может служить система, относительно которой одна из частиц покоится, или система центра инерции исследуемой системы материальных точек.