Основные уравнения электромагнитного поля

В предыдущих разделах даны определения основных физических величин, описывающих электрические и магнитные поля, электрические и магнитные характеристики материалов, показана взаимосвязь отдельно электрических и магнитных величин. Но электрические и магнитные поля — это две стороны проявления электромагнитного поля и соответственно электрические и магнитные физические явления тесно связаны друг с другом. Законы, связывающие электрические и магнитные величины в обобщенной форме, представляются уравнениями Максвелла в интегральной форме.

Связь между напряженностью магнитного поля и электрическим током устанавливается законом полного тока:

где Н — вектор напряженности магнитного поля; L — произвольный замкнутый контур; d / - элемент его длины; /_пл — полный ток, охватываемый контуром L.

Это уравнение определяет магнитное поле, возникающее при движении заряженных частиц. Полный ток складывается из токов:

где i" — сторонний ток (в частности, ток в обмотке); /_пр — ток проводимости (вихревой ток); /_см — ток смещения, обусловленный поляризационными эффектами; /_пер — ток переноса, обусловленный движением объекта относительно источника магнитного поля (в частности, обмотки с током).

Связь между напряженностью электрического поля и скоростью изменения во времени магнитного потока устанавливается законом электромагнитной индукции:

где Е — вектор напряженности электрического поля; Ф — магнитный поток, проходящий сквозь поверхность, охватываемую контуром L.

Выражение (2.16) представляет собой наиболее общую запись закона электромагнитной индукции применительно к любой среде. Большое практическое значение имеет случай, когда контур L представляет собой реальный проводящий виток. В этом случае в соответствии с (2.3) циркуляция вектора Е по контуру витка представляет собой ЭДС этого витка:

Связь вектора индукции электрического поля, создаваемого заряженными частицами, с их электрическим зарядом q определяется постулатом Максвелла:

где D — вектор электрической индукции; S — произвольная замкнутая поверхность; dS — элемент поверхности; q — свободный заряд в объеме, ограниченном поверхностью S.

Из (2.18) вытекает, в частности, что силовые линии электрического поля начинаются и заканчиваются на свободных электрических зарядах.

По аналогии с (2.18) для магнитных полей записывается второй постулат Максвелла:

где В — вектор магнитной индукции. Из (2.19) вытекает утверждение о непрерывности силовых линий магнитного поля.

Рис. 2.8 иллюстрирует законы полного тока, электромагнитной индукции, первый и второй постулаты Максвелла.

Четыре уравнения (2.15), (2.16), (2.18) и (2.19) устанавливают связь между электрическими и магнитными величинами, характеризующими электромагнитное поле в любом объеме пространства. Изучение электромагнитного поля в каждой точке пространства, а не в конечных объемах, требует дифференциальной формы записи уравнений Максвелла:

где у_ст— плотность сторонних токов; а Е — плотность токов проводимости (вихревых токов); dD/ dt — плотность токов смещения; о[И xfij — плотность токов переноса; и — удельная электрическая проводимость; V — скорость движения проводящего объекта относительно источника магнитного поля; р — объемная плотность зарядов.

Рис. 2.8. Иллюстрация законов полного тока (а), электромагнитной индукции (б), первого (г) и второго (в) постулатов Максвелла

Физический смысл уравнений электромагнитного поля заключается в том, что электрическое и магнитное поле существуют не отдельно друг от друга, а только совместно. Изменение, а не просто наличие электрического поля, приводит к появлению вихревого магнитного поля, а изменение магнитного поля приводит к появлению вихревого электрического поля. Энергия одного поля может переходить в энергию другого при естественном условии, что сумма энергий остается постоянной. Кроме того, существуют необратимые потери (например, тепловые).

Для решения системы уравнений Максвелла (2.20) необходимо знать свойства среды, в которой распространяется электромагнитное поле. Свойства объекта, находящегося в электромагнитном поле, характеризуются следующими зависимостями:

Первые две зависимости характеризуют электрические, а третья — магнитные свойства. Если а, в" ц, одинаковы во всех точках материала и не зависят ни от направления векторов Е и Н, ни от их модулей, то такие материалы называются однородными, изотропными и линейными.

В анизотропных материалах электрические и магнитные свойства зависят от направления, поэтому величины а, ?,., р, следует считать тензорами. В нелинейных материалах связь между индукцией и напряженностью поля D (E) и В{Н) нелинейна, а в случае ферромагнетиков и сегнетоэлектриков неоднозначна, она имеет гистерезисный характер. В этих случаях р,., е_г, а иногда и, а нельзя считать постоянными величинами.