Метод осреднения Крылова — Боголюбова

Далее рассмотрим метод осреднения уравнения (или системы уравнений).

предложенный Н. Н. Боголюбовым.

Качественная структура системы (4.51) может быть легко предсказана, поскольку в правой части стоит функция, умножения на малый параметр г. Поэтому решение u (t) может быть представлено как сумма медленноменяющийся функции ?, и суммы малых осциллирующих членов. Следовательно, в первом приближении и = Положим также, что функция U (t, и) представлена в виде ряда

Тогда.

Положим малым влияние суммы в правой части последнего выражения на систематическое изменение и. В первом приближении этой суммой можно просто пренебречь. Тогда мы получим дифференциальное уравнение для первого приближения решения

где M[t/(?, J;)] = i/₀(i;) — обозначение оператора осреднения.

^г ~ ~ e’V.

Введем еще одно обозначение U (t, и) =? ——U_n(u). Легко видеть, что.

п-1.

dU (t, и).

Тогда верно равненство—-= U (t, u)-U₀(u) = U (t, u)-MU (t, u)].

at t

Для получения второго, третьего и последующих приближений необходимо учитывать и осциллирующие члены. Для получения второго приближения необходимо добавить к и соответствующие слагаемые с малым параметром г:

Подставляя последнее равенство в систему (4.51), получим

откуда.

где X (t_y ?) — малые осциллирующие слагаемые. Если теперь пренебречь их влиянием на систематическое изменение то получим дифференциальное уравнение второго приближения.

Если ограничиться слагаемыми до второго порядка малости по малому параметру е, получим.

Другой путь получения формул усреднения состоит в следующем. Сделаем в уравнении (4.51) формальную замену переменных.

Продифференцируем последнее равенство по времени. Мы получим.

С учетом сделанной замены исходное уравнение (4.51) примет вид Его можно переписать в эквивалентной форме.

Здесь Е — единичный оператор (единичная матрица). Это уравнение можно разрешить относительно производной:

Не вдаваясь в подробности, отметим, что при разложении обратного оператора в ряд по малому параметру справедлива формула.

Эта формула во многом аналогична разложению в ряд Тейлора в окрестности нуля функции-. Справедливость формулы доказывается в кур;

1 + х сах функционального анализа.

Ограничиваясь в правой части линейными по параметру е слагаемыми, получим уже известную нам формулу первого приближения.

Раскладывая обратный оператор в ряд, но малому парамеру е и удерживая члены различных степеней, мы будем получать приближения различных порядков.

Сформулируем (без доказательства) основную теорему теории осреднения Н. Н. Боголюбова, обосновывающую приведенные рассуждения.

Теорема 4.4 (Н. Н. Боголюбова). Пусть функция U (?, и) удовлетворяет следующим условиям.

1. Для некоторой области D можно указать такие положительные постоянные N и А, что для всех вещественных значений t > 0 и для любых точек и, и', и" из этой области выполнены неравенства

2. В D существует предел.

Тогда любому сколь угодно малому 8 и сколь угодно большому L можно сопоставить такое г' > О, что если ?(?) е D — решения уравнения? = eU₀(?), О < t < (c)о, то для 0 < е < е₀ ^в интервале 0 < t < L/г справедливо неравенство ||и (0 — ?(0 < Till. где и (7) есть решение дифференциального уравнения й = eU (f, и), причем и (0) = ^(0) = и₀

Важным частным случаем являются задачи с периодической по времени функцией U (?, и) с некоторым периодом Г₀, поскольку они обладают следующим свойством:

Тогда.

и второе условие теоремы Боголюбова для них выполнено¹.