Три программы обоснования математики

Споры вокруг трех программ обоснования математики — логицизма, интуиционизма и формализма — были главным предметом обсуждения в философии математики вплоть до 1960;х гг.

Историческим контекстом возникновения названных программ стало состояние математики, сложившееся к концу XIX в., а именно развитие математической логики, создание теории множеств, разработка современной концепции аксиоматического метода и ряд других событий. Главной причиной их появления стал определенный диссонанс между ожиданиями, возлагавшимися на математику (в первую очередь, восприятием ее как способной достичь, а возможно уже и достигшей, единства и абсолютной строгости) и отказом от теологических аргументов в философии математики (см. приведенную выше цитату из Кеплера). Другой причиной было бурное развитие чистой математики, создававшей множество альтернативных теорий, не имевших никакой прямой связи с эмпирическим миром. Поводом же к формулировке конкурирующих программ обоснования математики послужило обнаружение парадоксов в рамках математической логики и так называемой наивной теории множеств. В результате появилась задача дать нс теологическое (но, в то же время, и нс натуралистическое!) обоснование основному корпусу математических теорий.

Логицизм

Исторически первой возникла программа логицизма. Она вдохновлялась идеями Лейбница, который последовательно сближал математику и логику, и современными достижениями в математической логике. Согласно чеканному определению Р. Карнапа логицизм — это точка зрения, «согласно которой математика сводима к логике и является не чем иным, как частью логики». Или более подробно: «1) математические понятия выводимы из логических понятий с помощью явных определений; 2) математические предложения с помощью чисто логических дедукций выводимы из логических аксиом» [31, с. 225].

Традиционно создателем этой программы считается немецкий математик Г. Фреге, который сформулировал главную ее идею в работе «Основания арифметики» (1884), причем еще до обнаружения упомянутых выше парадоксов.

В отличие от своих предшественников, строивших алгебру логики, т. е. применявших алгебраический инструментарий для обсуждения логических проблем, Фреге предложил поступить наоборот — использовать логику для подведения прочного фундамента иод математику и обоснования абсолютно необходимого характера ее суждений, вопреки сторонникам эмпиризма и психологизма. Центральным для математики того времени считалось понятие натурального числа (тезис арифметизации математики), как писал об этом несколько позднее британский философ Б. Рассел: «Вся традиционная чистая математика, включая аналитическую геометрию, может рассматриваться как состоящая полностью из суждений о натуральных числах» [35, с. 71].

Фреге взялся показать, что истины арифметики относятся к истинам логики подобно тому, как теоремы геометрии относятся к ее аксиомам, и арифметика есть лишь дальнейшее развитие логики, а арифметические предложения — это логические законы, хотя не первичные, а производные [42, с. 159, 221].

Детальная разработка программы логицизма привела Фреге к созданию «Основных законов арифметики» (т. 1 — 1893, т. 2 — 1903). Однако реализацию этого проекта постигла неудача. В рамках построений Фреге весной 1901 г. Б. Рассел, который независимо работал над сходным проектом и писал в это время большую работу «Основания математики» (вышла в 1903 г.), обнаружил противоречие, которое и изложил в письме к Фреге от 16 июня 1902 г. Это был знаменитый в дальнейшем парадокс Рассела.

В несколько отличном от исходной логической формы теоретикомножественном виде его можно изложить так. Введем понятие нормального множества. Будем называть нормальным всякое множество, которое не содержит самого себя в качестве элемента. Большинство привычных для нас множеств будут нормальными: так, например, множество всех чайных ложек само нс есть чайная ложка, и сахар в стакане с чаем им размешать нс удастся. А вот если мы рассмотрим множество всего, что нс является чайной ложкой, то оно уже содержит себя в качестве элемента, т. е. не является нормальным [36, с. 87].

Как обычно делают в теории множеств, запишем нормальность некоторого множества X в следующем виде: X  R. где буквой R обозначено множество всех нормальных множеств (в честь Рассела). Тогда определение нормальности множества X можно записать в виде: X  R — X  X.

А теперь зададим простой вопрос: является ли само множество R нормальным или нет? Формально ответ на этот вопрос соответствует попытке подставить в только что приведенное определение R вместо X. Нетрудно видеть, что получается: R является нормальным, если и только если R не является нормальным [19, с. 21−22]. Это и есть парадокс Рассела.

Парадокс произвел на Фреге сильное впечатление. Он фактически отказался от логицистской программы и стал высказываться о соотношении математики и логики куда более сдержанно. В результате как раз Рассел оказался в дальнейшем главным теоретиком этой программы. Объединив свои усилия с другим математиком и философом из Кембриджа, Альфредом Уайтхедом, он создал труд под латинским названием «Principia Mathematica» (в трех томах, 1910−1913), в котором они сделали попытку реализовать программу логицизма в деталях. Это было связано с тем, что Рассел нашел способ разрешения собственного парадокса, построив так называемую теорию типов^[1]. Позднее Рассел дал популярное изложение основных идей их с Уайтхедом работы в книге «Введение в математическую философию» (1919) [35].

К сожалению, результат оказался не столь убедительным, как-то изначально предполагал Рассел. Причина была в том, что в ходе постепенного перехода от простейших логических аксиом к все более сложным математическим утверждениям им не удалось обойтись без введения нескольких дополнительных аксиом. А именно: аксиомы сводимости (связанной с реализацией теории типов), знаменитой аксиомы выбора^[2] и аксиомы бесконечности^[3]. Чтобы свести математику к логике, саму логику пришлось несколько «расширить», причем за счет весьма спорных положений.

В результате не только Фреге, но и Рассел вынужден был смягчить логицистский тезис. Уже в книге 1919 г. он заменил тезис о сведении математики к некой абсолютно достоверной логической основе на тезис о единстве логики и математики, в смысле отсутствия четкой границы между ними [35, с. 211]. Позднее Рассел неоднократно прямо говорил о своем разочаровании в проекте обоснования математики. В опубликованной в последние годы его жизни «Автобиографии» (1967−1970) он писал: «Я жаждал достоверности, как другие жаждали религиозной веры. Мне казалось, что наиболее достоверно математическое знание. после двадцати лет усердных трудов я пришел к выводу, что не в силах сделать математику достоверной» [83, с. 699].

• [1] А. Пуанкаре и Б. Рассел увидели причину парадоксов в использовании непредикативных определений, нарушающих принцип порочного круга: никакое множество не должно содержать элементов, определимых только в терминах самого этого множества. Так, определение множества всех нормальных множеств R в парадоксе Рассела — непредикативное, поскольку R позволено быть как элементом, так и содержащим его множеством. Теории типов располагает все рассматриваемые объекты в виде иерархии типов разного уровня: первичные объекты, образованные из них множества, множества, образованные из этих множеств как элементов, и т. д. Объекты же, которые нельзя отнести к какому-то определенному типу, исключаются из рассмотрения как некорректно построенные. Поскольку в этом случае множество и его элементы всегда принадлежат к разным типам, парадокс Рассела и ему подобные не может возникнуть [20, с. 44−46; 35, с. 21−65].
• [2] Пусть некоторое множество разбито на попарно непересекающиеся непустые подмножества. Тогда согласно аксиоме выбора всегда существует способ выбрать по одному элементу из каждого из этих подмножеств и образовать из так выбранных элементов особое множество. Аксиома выбора получила известность и стала предметом бурных обсуждений благодаря одной работе (1904) Эрнста Цермело [93, с. 80−159], немецкого математика, создателя аксиоматической теории множеств.
• [3] Эта аксиома обеспечивает существование натурального ряда. Рассел полагал, что аксиома бесконечности есть скорее онтологическая гипотеза, чем логическая аксиома [35, с. 165−166, 217−218].