Примеры решения задач методом перемещений

Пример 10.1. Определим критическую силу и расчетную длину сжатого стержня, изображенного на рис. 10.5, а. Для этой рамы уравнение устойчивости г_и= 0. Чтобы вычислить реакцию, построим эпюру от единичного поворота узла (рис. 10.5, б).

Рис. 10.5. Рама один раз кинематически неопределима.

Решение

Выделяя дополнительную связь, определим, что г_м = 3/, + Зг, + 4/₂cp₂(v), или.

• 6 4 ЗА
• 7 ⁺ 7^{^v) = °' отсюда = ~Yr}
• 1,5 6

Пусть h = 6 м, / = 4 м, EI = 200 кН • м². Тогда cp₂(v) = —— = -2,25.

По таблице приложения 2 v «5,71. Тогда ⁴

В данном случае задача настолько проста, что ее удалось решить без подбора критического параметра v.

Пример 10.2. Чтобы показать, что и определитель (9.15), и метод перемещений приводят к одним и тем же результатам, определим критическую силу для рамы из упражнения 9.1. Основная система метода перемещений приведена на рис. 10.6, а.

Рис. 10.6. Расчет рамы на устойчивость методом перемещений.

Решение

3 EI

Определим коэффициенты уравнения: г_и = (0,5 + 0,75)Е1 = 1,25 ЕР, г_[2 = - —.

Эпюры моментов от единичных перемещений даны на рис. 10.6, 6, в. Запишем уравнение устойчивости (10.2) в паскпытом виле:

Реакцию г₂₂ от линейного смещения будут составлять поперечная сила правой стойки и горизонтальная сила от левой стойки, определяемая пятой строкой табл. 10.1:

Подставим полученные значения реакций в уравнение (10.5) и сократим на ЕР.

Отсюда v = 1,095, т. е. получили то же самое значение критического параметра.

л Расчетная длина стержня /" = 4 = 11,48 м.

Пример 10.3. Определим критическую силу и расчетные длины стержней для рамы, представленной на рис. 10.7, а. Основная система показана на рис. 10.7, 6. Эпюры моментов от единичных смещений изображены на рис. 10.7, в, г. Рама имеет два неизвестных перемещения. Уравнение устойчивости соответствует (10.5).

Решение

Отличие этой задачи от предыдущих состоит в том, что здесь два критических параметра. Выразим один из них через другой:

Рис. 10.7. Основная система и эпюры от единичных перемещений.

Определим реакции в дополнительных связях:

Подставим эти значения в формулу (10.5) и сократим на i:

Построение графика этой функции с помощью любого вычислительного комплекса па ЭВМ дает с точностью до второго знака после запятой минимальное значение v = 1,79. Пусть EI = 250 кН • м². Тогда.

Расчетные длины стержней:

Пример 10.4. Решим задачу устойчивости рамы для случая, когда одна из сил постоянная. Рама представлена на рис. 10.8, a. EI = 200 кН м².

Решение

Выразим все относительные жесткости через одну:

Рис. 10.8. Проверка устойчивости рамы от постоянной силы.

Прежде чем выполнить окончательный расчет, нужно выяснить, не превышает ли постоянная нагрузка на левую стойку критическое значение. С этой целью сделаем сначала расчет на устойчивость при нагружении только левой стойки. Рама имеет два неизвестных по методу перемещений. Уравнение устойчивости соответствует (10.5). Основная система метода показана на рис. 10.8, 6. Эпюры от единичных перемещений изображены на рис. 10.8, г, д. Эпюра от Z₂= 1 построена с использованием неполярного плана скоростей (рис. 10.9, а). Определим реакции в связях: г_п = 20/; г₁₂= 0,5/.

Рис. 10.9. Расчет на устойчивость при наличии постоянной силы.

Из этого выражения r|,(v) = 7,4. По таблице приложения 2 v~ 3,99. Тогда.

что больше имеющейся нагрузки. Следовательно, раму можно еще догрузить.

Полученного результата можно было достичь и с помощью определителя (9.15). Выделим рассматриваемый стержень AD. Влияние отброшенной части заменим упругой связью с жесткостью г₃ (рис. 10.8, в). Имеем г, —? г = 0. Значение жесткости г₃ легко найти через Z₂, полученное от единичной силы. Используем для этой цели приведенное выше решение. Реакции г_и и г₁₂ останутся без изменения, а из г₂₂

нужно исключить жесткость рассматриваемого стержня. Тогда г₂₂ = —г; r_[F= 0; r_2F= -1. Система уравнений примет вид.

80 1111.

Из системы получаем Z₂ = —— i, откуда г₃ = — = — i.

111 ‘ Z₂ 80.

Подставим г, и г₂в формулу (9.15) и после упрощения получим.

Для определения г₂₂ составим уравнение возможных работ относительно изображающих точек (рис. 10.9, б):

В любом случае минимальные корни этих уравнений совпадают с полученным выше решением.

Далее выполним основной расчет. При наличии постоянной силы он будет проще, так как для левой стойки параметр v₀ известен:

Опять построим эпюры от единичных перемещений (рис. 10.9, в, г). Определим реакции:

Запишем определитель (10.5):

Минимальный корень этого уравнения v_mjn = 2,69. Тогда.

Расчетные длины стержней:

Пример 10.5. Методом перемещений с помощью табл. 10.2 решим задачу 9.1.

Решение

Основная система приведена на рис. 10.10, а. Эпюра моментов от единичного перемещения показана на рис. 10.10, б. Выделим поставленную связь, определим реакцию г_и и приравняем ее к нулю: г_и = 3i — ivtgv = 0, или vtgv = 3, т. е. получили то же самое, но более коротким путем.

Рис. 10.10. Расчет на устойчивость без постановки линейных связей Пример 10.6. В заключение приведем пример, когда одновременно используются табл. 10.1 и 10.2. Рама представлена на рис. 10.11, а.

Рис. 10.11. Совместное использование значений из табл. 10.1 и 10.2.

Решение

Основная система приведена на рис. 10.11,6. При отсутствии линейной связи на конце верхней стойки рама имеет два неизвестных перемещения. Относительные EI 2 EI 4.

жесткости i_c = — = г; г_р = = -г. Эпюры от единичных перемещений показаны на рис. 10.11, в, г.

Определим реакции:

Сократим на г и подставим в уравнение устойчивости (10.5): Путем подбора найдем v_mjll= 1,4. Критическая сила Расчетная длина сжатых стержней:

Упражнение 10.1. Определите критические параметры сжатых стержней в раме, представленной на рис. 10.12, а.

Упражнение 10.2. Определите критические параметры сжатых стержней в раме, представленной на рис. 10.12, 6, если F₂ = 1,25/-',.

Рис. 10.12. Расчетные схемы рам для упражнений 10.1 (я) и 10.2 (б).

Упражнение 10.3. Определите критическую нагрузку и расчетные длины стержней для схемы рамы на рис. 10.13 методом перемещений при наличии постоянной силы. Исходные данные: Е1_р = 279,6 кН • м²; Е1_С = 139,8 кН • м².

Рис. 10.13. Рама с постоянной силой.