Модели дисперсионного анализа со случайными факторами

Рассмотрим гнездовой план с двумя случайными факторами. Фактор А — артикул ткани, фактор В — тип изделия. Исследуем их влияние на затраты времени при изготовлении одного пошивочного изделия (табл. 8.12).

Сначала случайно выбирается К значений фактора А (К артикулов тканей). Затем для каждого из видов ткани также случайно отбирается т значений фактора В, т. е. т типов изделия, взятых наугад из всего многообразия ассортимента. Для каждого изделия проводится несколько повторных измерений отклика у^ — затрат времени.

Аддитивная модель для данного плана имеет вид.

где ущ — затраты времени при изготовлении I-го изделия j-ro типа из i-и ткани; р — истинные затраты времени; т, — эффект г-го значения случайного фактора А (артикула ткани); (3* — эффект случайно выбранного j-ro типа изделия из г-й ткани; % — случайная ошибка.

При анализе модели со случайными факторами вклад в общую дисперсию отклика оценивается не по индивидуальным значениям факторов, а по вкладу каждого фактора в целом. В модели И, в отличие от модели с постоянными факторами, все наблюдения отклика имеют одинаковые математические ожидания р, р = у = у…, так как величины т,-, (3,-, и % взаимно независимы и нормально распределены с нулевым средним и дисперсиями о^, а^ и aj соответственно. Полная дисперсия отклика в этом случае.

Соответствующие суммы квадратов в данной модели имеют следующий вид:

•  — сумма квадратов между средними по гнездам из т столбцов и общим средним у;

•  — сумма квадратов между средними по столбцам и общим средним в каждом гнезде;

•

Базовая таблица ДА имеет вид, представленный в табл. 8.13. Для рассматриваемого гнездового плана с двумя случайными факторами (см. табл.8.12) гипотеза Н₀: с^-0 проверяется с помощью отношения . Для заданного уровня значимости а нулевая гипотеза отклоняется при F_z > F_l__a, где F_x имеет, когда верна гипотеза Н₀, F-распределение с {К — 1, К (т — 1)) степенями свободы.

Гипотеза Н₀: <�Тр=0 проверяется сравнением с F₁__ot,.

вычисляемого по F-распределению для (JC (m — 1), Кт{п — 1)) степеней свободы.

Матрица наблюдений для гнездового плана с двумя случайными факторами.

Таблица 8.12

Базовая таблица двухфакторного ДА для модели II.

Таблица 8.13

Источник дисперсии.	Сумма квадратов.	Число степеней свободы.	Средний квадрат (оценка дисперсии).
Между значениями фактора А.	Qt.	К-1
Между значениями фактора В при разных значениях фактора А.	Qp.	К (.т — 1).
Остаточное рассеяние.	Qoct.	Кт (.п — 1).

Если предположить, что в матрице наблюдений (см. табл. 8.13) для каждого из видов ткани (гнезда А_ь i = 1, …, К,) типы изделия (уровни В_ь В₂, В_т) одинаковы и отобраны неслучайно, то справедлива модель I, дисперсионный анализ которой можно выполнить по аналогии с примером 8.2 из параграфа 8.2. Обычно выводы о влиянии факторов и их взаимодействий, полученные для модели И, сохраняются и для модели I.

Для рассмотренного в параграфе 8.2 плана эксперимента с тремя факторами в предположении их случайной природы (модель II) проверка нулевых гипотез об отсутствии влияния на сбыт продукции усложняется. Взаимодействие трех факторов легко проверяется с помощью отношения . Взаимодействия двух факторов проверяются с помощью отношений типа

(для факторов А и В). Проверка же влияния каждого фактора в отдельности возможна, только когда установлено отсутствие его совместного влияния с каждым другим фактором. Так, влияние фактора А может быть проверено с помощью отношения ,.

только если была принята гипотеза об отсутствии влияния взаимодействия АВ и АС.

Модели ДА со случайными факторами неустойчивы к нарушениям предположений о нормальности и независимости эффектов случайных факторов. Эти нарушения могут привести к ошибкам при проверке гипотез.