Вырожденный электронный газ

Известно, что электроны в металле можно считать почти свободными, поэтому их можно рассматривать как идеальный фермигаз. При этом, как указывалось выше, даже при температурах порядка 10³ кельвинов такой газ является вырожденным, поэтому для его описания необходимо пользоваться статистикой ФермиДирака.

Число состояний электрона, движущегося в объеме V и имеющего значение импульса от р до р+dp, определяется общим выражением (6.10) (см. с. 155).

(в этом равенстве учтено, что у электрона s = /4, поэтому g = 2).

Рассмотрим прежде всего полностью вырожденный электронный газ, то есть газ, находящийся при температуре, равной абсолютному нулю. В этом случае из распределения Ферми-Дирака (при условии, что <�р)' следует, что п_к — 1, то есть при Т = 0 элек-^[1]

троны заполняют все состояния с импульсами р от р = 0 до некоторого максимального значения р = /?/.-, при этом в каждом состоянии оказывается по два электрона с противоположными направлениями спина^[2].

Полное число электронов в этих состояниях.

Отсюда Максимально возможное значение энергии электрона будет равно.

где под т следует понимать эффективную массу электрона.

Его называют энергией Ферми. Становится понятен смысл указанного выше условия < р — химический потенциал полностью вырожденного электронного газа равен e_F и электроны заполняют все энергетические уровни от 8 = 0 до e = €_F, располагаясь на них попарно с противоположными значениями проекции спина. Полная энергия газа:

Подставляя сюда равенство (6.19), получим:

Учитывая значение энергии Ферми (6.20), приходим к окончательному соотношению, определяющему внутреннюю энергию полностью вырожденного электронного газа:

Соответственно, теплоемкость такого газа равна.

что полностью согласуется с теоремой Нернста.

Найденные выражения справедливы не только при Т— 0, но и при температурах, достаточно близких к нулю. Критерием их применимости является малость энергии теплового движения электронов по сравнению с энергией Ферми, то есть соотношение kT «e_F. Отсюда находим:

то есть, должно быть.

Нетрудно видеть, что эго условие (с точностью до несущественного численного множителя) совпадает с условием вырождения (см. с. 154). Таким образом, мы можем утверждать, что все полученные выше выражения (в частности выражения для Е и С у) остаются справедливыми для любых температур, при которых электронный газ является вырожденным — вплоть до температур, составляющих тысячи кельвинов.

Для бозонов условие нормировки (6.12) имеет вид.

• [1] Если е > р, то при Т —> 0 dNp также стремится к нулю, а это означает, что электронов с энергиями е > р в полностью вырожденном газе нет.
• [2] 2 Что и учитывает множитель 2 в выражении (6.17).