Контрольные вопросы. 
Алгебра и теория чисел. 
Группы, кольца и поля

1. Представимы ли в виде прямого произведения (прямой суммы) своих неединичных (ненулевых) подгрупп следующие группы: S₃, Ъ, Z₆, С, группа простого порядка, группа параллельных переносов плоскости?

2. Известно, что G = (а) и | а = р^п. Как изображаются на диаграмме Эйлера группа G и две ее собственные подгруппы?

3. Сохраняется ли представимость группы в виде прямого произведения двух подгрупп при изоморфизме групп? А при гомоморфизме?

4. Верно ли, что если группа представима в виде прямого произведения трех подгрупп, то она представима в виде прямого произведения двух подгрупп?

5. В каком случае прямое произведение двух циклических подгрупп является циклической группой?

Задачи

1. Найдите разложения в произведение циклических подгрупп абелевых групп порядков 3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16, 30.

2. Докажите, что если в абелевой группе G порядок всякого неединичного элемента равен п, топ — простое число и G представима в виде прямого произведения циклических групп одного и того же простого порядка.

3. Найдите разложение в прямую сумму циклических подгрупп для групп Z + ZV3 и Z + Ш.

4. Докажите, что аддитивная группа Q не представима в виде прямой суммы двух ненулевых подгрупп.

5. Представьте мультипликативную группу О¹" в виде прямого произведения двух неединичных подгрупп.