Типовые задачи социально-правовых отношений, решаемые на основе математических моделей

Пример 13.8. Математическая модель скорости роста числа правонарушителей

Рассмотрим типовую задачу общественных отношений в сфере безопасности граждан по состоянию на текущий момент времени и в некотором интервале на будущий период времени.

Для этой цели используем математический ап парат модели математического анализа, где в качестве аналитического выражения, которое отражает суть данных отношений, используем нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Общий вид такого уравнения: где g (t, х) — заданная непрерывная функция.

Интерпретация данного уравнения с точки зрения социально-правовых отношений заключается в следующем: скорость изменения преступности зависит от времени и от установленного, на начальный момент времени уровня преступности х$.

Считая, что переменныехи^в уравнении (13.1) разделяются, можно записать g (t, х) = h (x)k (x), где h (x) зависит от х, a k (t) от t_y тогда

Интегрируя обе части выражения (13.1) по переменным х и t_y находим эти интегралы и общее решение x (t).

Рассмотрим, например, динамику роста количества преступлений. Применим математический аппарат теории «логистического роста», который находит применение в биологии для оценки роста некоторой популяции в естественных условиях. С учетом данной теории можно полагать, что рост числа преступлений происходит за счет «конкуренции» внутри системы отношений — «правонарушители — сотрудники правоохранительных органов»¹.

Будем также считать, что средний рост количества правонарушителей выражается значением положительной постоянной р и он не зависит ни от времени, ни от уровня преступности x (t).

Допустим также, что среднее снижение количества правонарушителей пропорционально их числу и, следовательно, равно .г (Об, где 5 — положительная постоянная.

Тогда математическую модель скорости роста числа правонарушителей можно записать в виде.

¹ Данный подход рассмотрен в работе: Кемепи Дж._У Снелл Дж. Кибернетическое моделирование / пер. с англ. — М.: Советское Радио, 1972.

После интегрирования обеих частей уравнения и в результате интегрирования получаем уравнение вида.

Если считать, что Хо есть начальное значение числа правонарушений, тогда постоянная интегрирования С будет вычисляться по следующей формуле:

Подставим формулу (13.7) в уравнение (13.5) и затем, преобразовав полученное выражение, в итоге будем иметь соотношение для уровня преступности x (t) вида.

Преобразуя выражение (13.8), получим уравнение.

Тогда уравнение числа роста преступлений имеет вид.

Для уравнения числа роста преступлений характерно то, что с увеличением времени рост числа правонарушений стремится к некоторому предельному значению:

Преобразуем выражение (13.10), умножив числитель и знаменатель значения предела на величину е получим.

так как при t —* е ^ —? 0.

Таким образом, нам удалось получить математическую модель скорости роста числа правонарушителей (13.9)—(13.11), используя математический аппарат модели математического анализа.

Однако анализ данной математической модели традиционными методами затруднен ввиду ее аналитической сложности. В этом случае существенное упрощение изучения свойств модели целесообразно осуществить, используя уникальные возможности математической программной системы MathCAD.

Используя математическую систему MathCAD, оценим численность правонарушений по одному из видов преступлений, кото;

dx

рая выражается формулой = лг (0,1 — 0,0х), где положительная постоянная числа роста правонарушений р = 0,1, а положительная постоянная среднего снижения количества правонарушений 5 = = 0,01. Уровень правонарушений в начальный момент времени ?₀

составляет До ⁼ 10.

Требуется определить предельное значение численности правонарушений lim x (t).

tr~> оо Методика решения задачи в системе MathCAD. Преобразуем выражение (13.9) так, чтобы оперировать с безразмерными величинами.

С учетом принятых обозначений процедура анализа модели представлена на следующем листинге в системе MathCAD:

На рис. 13.4 приведены графики функций роста числа правонарушений x (t) в масштабе нормированного времени, полученные.

Время, t

Рис. 13.4. Графики функций роста числа правонарушений x (t)

на основе математической модели в системе MathCAD для трех значений:

• • числа роста правонарушений [3;
• • среднего снижения количества правонарушений 5;
• • уровня правонарушений *о в начальный момент времени t₀. Из этих графиков очевидно, что с увеличением времени коли-

Р чество правонарушении стремится к предельному значению g, которое тем больше, чем выше уровень числа роста правонарушений в обществе и ниже значение скорости его снижения.

Пример 13.9. Математическая модель противодействия правоохранительным органам со стороны правонарушителей Рассмотрим математическую модель двух противоборствующих сил: правоохранительных органов и правонарушителей.

Математическая модель их отношений может быть получена путем некоторого обобщения уравнения (13.9).

Введем количественные значения в текущий момент времени: правонарушителей — *1(0 и сотрудников, например, отдела внутренних дел (ОВД) — x₂(t).

Обобщая уравнение (13.9), считаем, что скорость изменения численности каждой рассматриваемой составляющей ограничивается их допустимой численностью. Данное ограничение позволяет перейти к другим уравнениям, которые в математике имеют название уравнений Лотки — Вольтсрра¹.

Будем считать, что в уравнениях (13.12) все коэффициенты яц, Я]2, «21> ^а22<^1- ^2 положительные.

Скорость роста значения X (t) положительна, если Яц*1 — - я 12*2^< Ь, равна нулю, если Яц*| - а^х₂ = Ь, и отрицательна, если Яц*1 — я 12*2 > Ь.

Данные условия будут справедливы и для х->(1).

dx (t) dx₂(t)

При равенстве нулю —^^— = 0 модель займет равновесное состояние и система уравнений (13.12) будет иметь вид.

¹ Модель Лотки — Вольгерра — модель межвидовой конкуренции, названная в честь ее авторов (Лотка, 1925; Вольгерра 1926), которые предложили модельные уравнения независимо друг от друга.

Система уравнений (13.13) имеет два решения:

Обозначенные крайние точки показывают, что при отсутствии одной из противоборствующих сторон каждая из них будет достигать состояния «максимальной численности».

Третья равновесная точка соответствует реальному процессу общественных отношений, когда силы активно противостоят друг другу и они существуют в фактическом количественном состоянии.

Третья равновесная точка получается в результате решения системы из двух уравнений:

В случае если определитель уравнения (13.14) Л = а_пХ — — 012*2 ^ ^то существует его решение, где:

Заметим, что согласно начальным условиям рассмотренной модели, правоохранительные силы были ограничены только численным составом ОВД, другие силы в учебных целях в ней нс были рассмотрены, что позволило создать упрощенную математическую модель, выявить основные тенденции и свойства рассмотренных процессов общественных отношений в конкретной правовой ситуации.

Методика решения задачи в системе MathCAD. Используя математическую систему MathCAD, оценим количественные значения ДВуХ Противоборствующих СИЛ При Х > О И ЛГ2 > 0.

Из (13.13) следует.

Решением системы уравнений (13.14) и (13.15) являются координаты точки пересечения прямых (13.16) и (13.17), которые пересекаются при условии.

Рис. 13.5. Графическое решение уравнения.

Точка Е имеет координаты (ж_1?,.%;), которые получим, решив систему уравнений (13.13):

Таким образом, получена математическая модель динамики соотношения противоборствующих сил правопорядка и правонарушителей (13.13)—(13.15) с использованием аппарата математического анализа и линейной алгебры. Графическое решение системы уравнений (13.14) выполнено с использованием технологии математической системы MathCAD, результаты которого приведены на рис. 13.5.

Пример 13.10. Математическая модель размера государственной пошлины по делам, рассматриваемым в арбитражных судах Рассмотрим арифметическую модель зависимости размера государственной пошлины у (х) от суммы иска х по делам, рассматриваемым в арбитражных судах при подаче искового заявления имущественного характера, подлежащего оценке, при цене иска х~.

• • до 100 000 руб. — 4% цены иска, но не менее 2000 руб.;
• • от 100 001 руб. до 200 000 руб. — 4000 руб. плюс 3% суммы, превышающей 100 000 руб.;
• • от 200 001 руб. до 1 000 000 руб. — 7000 руб. плюс 2% суммы, превышающей 200 000 руб.;
• • от 1 000 001 руб. до 2 000 000 руб. — 23 000 руб. плюс 1% суммы, превышающей 1 000 000 руб.;
• • свыше 2 000 000 руб. — 33 000 руб. плюс 0,5% суммы, превышающей 2 000 000 руб., но не более 200 000 руб.

Методика решения задачи в системе MathCAD. Выполним словесное описание функции у (х):

• • если х е |0, 100 0001, то у (х) = 0,04х; но если у (х) < 2000, то у (х) = 2000;
• • еслих е [ 100 001, 200 000], тоу (х) = 4000 + 0,03(х- 100 000);
• • если х е [200 001,1 000 000], то у (х) = 7000 + 0,02(дг- 200 000);
• • если л: е [1 000 001, 2 000 000], то у (х) = 23 000 + 0,01(лг — - 1 000 000);
• • если х > 2 000 000, то у (х) = 33 000 + 0,005(.г — 2 000 000); но если у (х) > 200 000, то у (х) = 2000.

Приведем листинг в системе MathCAD:

Рис. 13.6. Графическая модель зависимости размера государственной пошлины (г/(л*)) от суммы иска (лг) но делам

Графическая модель зависимости размера государственной пошлины у (х) от суммы иска х по делам, рассматриваемым в арбитражных судах при подаче искового заявления имущественного характера, подлежащего оценке, при сумме исках е [0, 100 000], представлена на рис. 13.6.