Проверка гипотезы о равенстве генеральных дисперсий нескольких нормальных совокупностей

Допустим, что измеряется размер эритроцита в нескольких лабораториях и при этом могут применяться различные методики измерений. Требуется сравнить средние значения размера эритроцита, полученных в этих лабораториях. Однако для этого предварительно надо убедиться в равенстве дисперсий размера эритроцитов, например, с помощью описанных ниже критериев.

Для проверки гипотезы о равенстве (однородности) нескольких дисперсий нормально распределенных генеральных совокупностей Х, Хг, Хг,, Х_т может быть использован критерий Кочрена (или Кохрена) или Бартлетта. Если объемы выборок равны, то применяется критерий Кочрена, а для разных — Бартлетта.

Критерий Кочрена. Пусть из т нормально распределенных генеральных совокупностей Xt, Хг, Хз,, Х_т извлечены т независимых выборок одинакового объема п. По выборкам найдены исправленные выборочные дисперсии Sf с одинаковым числом степеней свободы f = и—1.

Поставлена задача при заданном уровне значимости, а и одинаковом объеме всех выборок п проверить нулевую гипотезу об однородности между собой генеральных дисперсий, т. е. Н₀: ДОД-ДСЪ) — … при //: ?>г№)* Ог№) * … * D,(X_m).

За наблюдаемое значение критерия принимается критерий Кочрена, равный отношению наибольшей выборочной исправленной дисперсии S?_rm к сумме всех исправленных дисперсий.

По таблице прил. 9 критических точек распределения Кочрена находят критическую точку Х^щ,(а/, т). Если К,_Ибл<�Ккрпр — нулевая гипотеза принимается, а если К_то^>Х^ _Пр — нулевая гипотеза отвергается. Критическая область всегда правосторонняя.

Пример 9.15. Г1о пяти независимым выборкам одинакового объема и = 11, извлеченным из нормальной генеральной совокупности препарата X, найдены выборочные исправленные дисперсии летальных доз: 0,85, 2,53, 1,03, 1,69, 0,81. При уровне значимости, а = 0,05 требуется: а) проверить нулевую гипотезу об однородности (равенстве) генеральных дисперсий летальных доз, т. е. tf₀: D_r(X_t) = D_r(X₂) = ???-D_r(X_s) при альтернативной гипотезе #ь D_r(X₂)* …*D_T(X_S) б) оценить генеральную дисперсию.

Решение, а) По условию задачи объем выборок одинаковый п = 11, а число выборок т = 5. Наибольшая исправленная выборочная дисперсия равна S^ = 2,53. Вычислим наблюдаемое значение критерия.

По таблице прил. 9 при уровне значимости, а = 0,05, числе степеней свободы /? = /1 — 1 = 11—1 = 10 и числе выборок т = 5 находим критическую точку К«р пр (0,05,10,5) = 0,41.

Критическую область строим правостороннюю. Из рис. 9.15 видно, что значение критерия К_те_л попадает в область принятия нулевой гипотезы Но. Поскольку К_Шбл⁼0,37<0,41 =Кщ, «р, то при уровне значимости а = 0,05 нулевую гипотезу Но об однородности генеральных дисперсий летальных доз выборок принимаем, т. е. различие между дисперсиями летальных доз статистически незначимо.

б) Так как равенство дисперсий установлено, то в качестве оценки генеральной дисперсии DA.X) берем среднюю арифметическую исправленных дисперсий.

Пример 9.16. С помощью четырех разных методик определены значения коэффициента поверхностного натяжения слезной жидкости человека. По полученным выборкам одинакового объема н = 10 найдены выборочные исправленные дисперсии, Н²/м²: 5,2−10 ³, 6,2−10 ³, 4,4−10 ³, 5,0−10^_3. В предположении нормального закона распределения результатов измерений при, а = 0,05 проверить гипотезу о воспроизводимости опытов при определении коэффициента поверхностного натяжения слезной жидкости.

Решение. По условию объем выборки п = 11, число выборок т = 4, а наибольшая выборочная дисперсия — =6,2 10'³.

Сформулируем гипотезы.

Н₀: D,(X)—D,(X₂)-D,(X])=D_t{X^) — генеральные дисперсии четырех нормально распределенных совокупностей Х, Х₂, Хз и Х₄ равны между собой (в контексте примера выборочная исправленная дисперсия коэффициента поверхностного натяжения слезной жидкости в четырех выборках одинакова).

Ни DAXi) * D_t{X₂) * D^X₂) * D,(X_t) — генеральные дисперсии четырех нормально распределенных совокупностей Х, Хг, Хз и Х₄ не равны между собой (в контексте примера выборочная исправленная дисперсия коэффициента поверхностного натяжения слезной жидкости в четырех выборках неодинакова).

По формуле (9.7) вычислим наблюдаемое значение критерия.

По таблице прил. 9 находим критическую точку распределения К_кр _пр(0,05,10,4) = 0,49.

Так как имеет место соотношение К_1ю6л =0,3 <0,А9 = К_Щ) «р, то при уровне значимости, а = 0,05 нет оснований отвергать нулевую гипотезу Но о равенстве генеральных дисперсий (различие между ними незначимо, оно может быть объяснено случайностью). Поэтому выборочные исправленные дисперсии считаем однородными, а результаты экспериментов воспроизводимыми.

Найдем оценку генеральной дисперсии.

Критерий Бартлетта. Пусть из т нормально распределенных совокупностей X], Хг, Хз,…, Х_т, извлечены т независимых выборок различного объема и₍ > 4 (7 = 1,2,3,…,/и), по которым найдены выборочные исправленные S?, S%, S3,…, S%,. Требуется при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу об однородности между собой генеральных дисперсий, т. е. Я₀: D_r(X_x) = D_r(X₂) = …= D_r(XJ при /Л: D_r(X_x)* D_r(X₂)*…* D_r(X_m).

Для проверки нулевой гипотезы о равенстве соответствующих генеральных дисперсий вычисляют наблюдаемое значение критерия Бартлетта по формуле.

правленных дисперсий, взвешенная по числу степеней свободы.

По таблице прил. 10 критических точек распределения Пирсона при уровне значимости, а и числе степеней свободы f = т-1.

находят критическую точку К_крпр(а/). Если К_иа6«<�К_крпр — нулевая гипотеза Но принимается, если К_нль">К^ _пр — нулевая гипотеза Но отвергается. Критическая область правосторонняя.

Подчеркнем, что число опытов в каждой серии должно быть не менее трех, а сам критерий очень чувствителен к нарушению нормального закона распределения исходных данных.

Если V то К"аб;|<�Ккр"р, т.к. Ol, и нулевую гипотезу Но можно принять, не вычисляя С.

Пример 9.17. По выборкам с объемами я, =8, п₂ =12,я₃ = 13, извлеченных из трех нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные исправленные дисперсии S_x =0,017,S₂ =0,038, S] = 0,022 с² длительности сердечного цикла здоровых, больных и лечащихся детей соответственно. При уровне значимости, а = 0,05 проверить нулевую гипотезу Но об однородности дисперсий длительности сердечного цикла детей в этих выборках.

Решение. Сформулируем гипотезы.

H₀: D_r(Xi)=Dr (X2)=D_r (А'з) — генеральные дисперсии трех нормально распределенных совокупностей Х, Х₂ и А’з равны между собой (в контексте примера выборочная исправленная дисперсия длительности сердечного цикла здоровых, больных и лечащихся детей в трех выборках одинакова).

Н: D,(Xi) * А (А'г) * Д (Аз) — генеральные дисперсии трех нормально распределенных совокупностей Х, Х₂ и А’з не равны между собой (в контексте примера выборочная исправленная дисперсия длительности сердечного цикла здоровых, больных и лечащихся детей в трех выборках неодинакова).

Заполним расчетную табл. 9.10.

Таблица 9.10. Результаты расчета параметров выборки.

Воспользовавшись данными табл. 9.10, найдем.

По таблице прил. 10 при уровне значимости, а = 0,05 и числе степеней свободы/=3−1=2 находим К_к[1 «_р(0,05,2) =6,0.

Из графического решения примера видно, что наблюдаемое значение К_т&, попадает в область принятия Но (рис. 9. 16). Так как = 1,6 < 6 = 6/p_rlp, то при уровне значимости, а = 0,05.

гипотеза об однородности выборочных исправленных дисперсий длительности сердечного цикла здоровых, больных и лечащихся детей принимается, т. е. дисперсии признаются статистически неотличимыми дпуг от друга с оценочной генеральной дисперсией.

Рис. 9. 15. Правосторонняя Рис. 9. 16. Правосторонняя.

критическая область критическая область.