Уравнения диффузии с дробными производными

Математический аппарат интегродифференцирования дробного порядка позволяет описывать процессы в системах, для которых существенен учёт нелокальных свойств по времени и пространству. Интерпретация производных дробного порядка как способ учёта эффектов памяти (нелокальность по времени) и пространственных корреляций (нелокальность по координатам) привела к их широкому применению в естествознании.

Уравнения в дробных производных описывают эволюцию некоторой физической системы с потерями, причём дробный показатель производной указывает на долю состояний системы, сохраняющихся за всё время эволюции. Эти системы с «остаточной» памятью занимают промежуточное положение между системами, обладающими полной памятью, с одной стороны, и марковскими системами, с друтой.

Дробное исчисление- область математического анализа, в которой исследуются и применяются дробные производные и интегралы любого вещественного порядка. Одним из приложений этой теории является теория дифференциальных уравнений с дробными производными.

Операция дифференцирования дробного порядка— сочетание операций дифференцирования и интегрирования.

Замечание. Дробная производная показывает, во сколько раз уменьшается движущаяся физическая величина по сравнению с неподвижной. Например, отрезок, движущийся со скоростью^/0=0.55 уменьшается в размерах в 2 раза. Что математиd^Xf2

чески записывается как —х = х^½> т. е. дробная производная показывает, во.

dx¹¹²

сколько раз движущаяся физическая величина качественно отличается от неподвижной. Отрезок из примера уже не отрезок, но ещё не точка. Отрезком он был при малых скоростях, а точкой он станет при v/c=.

Для описания различных вариантов аномальной диффузии по фракталам) используются дифференциальные уравнения с дробными производными как по времени

здесь производная по времени — производная Капуто; так и по координате.

здесь производная по координате — производная Рисса.

При а=1 имеем обычное уравнение диффузии, с экспоненциальным затуханием решения на бесконечности; при а=2— волновое уравнение. Плавно изменяя значение параметра «можно осуществить непрерывный переход от диффузионного режима (— p (x, t) = D—j p (x, t)—необратимый.

dt дх

процесс, полный хаос) при а->1 к волновому режиму присх->2 (.

— P (x_yt)=D—р (х,/) ~ обратимый процесс, полный порядок), т. е. переход.

dt² ' дх²

от диффузионного уравнения, в котором D — коэффициент диффузии, к волновому уравнению, в котором у[Ъ задаёт скорость распространения волны. Физической мерой необратимости является скорость производства энтропии. Здесь важно, что монотонно меняя параметр а можно прейти от полного хаоса, через различные стадии детерминированного хаоса и полному порядку.

Рис. 5. Необратимый (диффузионный) процесс (а) и обратимый (волновой) процесс (б).

Путём выбора величины параметра [5 можно позволяет перейти от полуволнового уравнения при.

— рМ=о—рСмДО-" ¹— ^{(, б)};

dt дх

ратимый процесс, низкая скорость производства энтропии), к уравнению диффузии Я я²

(_p (x, t)= D—^p{x, t)> необратимый процесс; при 0-«2 скорость производ;

dt ' дх²

ства энтропии резко возрастает).

Дробный закон Фика в отличие от классического допускает, что частицы из любой ячейки могут переместиться более чем на одну ячейку за малый интервал времени At. Причём вероятность того, что частица совершит прыжок на к ячеек, уменьшается с увеличением к.

Замечание i. Фрактальная диффузия и диффузия по фракталам — разные процессы, поэтому уравнение фрактальной диффузии нельзя использовать для описания блуждания по фракталам. При блуждании по фракталам диффузионный пакет расплывается намного медленнее, чем при фрактальной диффузии. Причина в том, что фрактально блуждающая частица после вылета из места локализации всегда может уйти на большое расстояние, тогда как в случае блуждания на фрактале она может оказаться запертой между' соседними кластерами, совершая между ними большое число переходов. Различаются и плотности распределений для фрактальной диффузии и диффузии по фракталам.

Замечание 2. Постулаты об однородности, автомодельности и конечности дисперсии приводят единственным образом к броуновскому движению. Отказ от последнего постулата расширил класс процессов включением движения Леви, моделирующего супердиффузионный процесс. Траектории подчиненного Леви-движения характеризуются скачками (разрывами) как вдоль координатных осей, так и вдоль оси времени, застревая в ловушках. Распределение времени пребывания в них имеет не экспоненциальный, а обратностепенной вид, что говорит о немарковском процессе или процессе с памятью. Конкуренция между фрактальностью среды и её памятью и определяет конкретный тип аномальной диффузии.

Если производная целого порядка зависит только от локального поведения функции и характеризует её наклон в бесконечно малом интервале, то дробная производная — нелокальна. Значение производной дробного порядка от функции в заданной точке зависит от характера всей функции.

Дробные производные не имеют однозначного определения. Приведём некоторые из них.

Производные дробного порядка по координатеРиманаЛиувилля:

Дробная производнаяКапуто (учитывает память, т. е. нелокальность во времени), применима для достаточно гладких функций (таких, что операция дифференцирования может быть внесена под знак интеграла):

Производная в смысле Капуто — искусственный объект, позволяющий избавиться от сингулярности в точке с=о.

Определение дробной производнойГрюнвальда-Летникова:

Биномиальные коэффициенты имеют вид:

Дробная производная Римана-Лиувилля при дифференцировании постоянной величины обращается в нуль только при целых порядках (3, тогда как производная дробного порядка от постоянной не равна нулю, а определяется выражением.

Производная дробного порядка в смысле Римана — Лиувилля представляет собой скорость изменения интегральной характеристики объекта, например, скорость изменения памяти в системе. Если решаетсяобобщенное уравнениедиффузии, удовлетворяющее граничному условию одного из трёх типов, то используется производная Лиувиля. При учёте начальных условий производная по времени используется в виде Капуто. В случае нулевых начальных условий производные Римана — Лиувилля и Капуто совпадают. Дробную производную обычно представляют в виде линейной комбинации левосторонней и правосторонней производных.

На практике, при оперировании дробными производными, используют прямое и обратное преобразования Фурье:

Замечание. Замкнутая форма обратного преобразования Фурье для уравнений аномальной диффузии неизвестна, но можно воспользоваться характеристическим уравнением.

В качестве примера найдём первую производную от J[x)

Замечание. Уравнения дробного порядка, дополняя картину общей теории дифференциальных уравнений, обнаруживают взаимосвязи, которые в рамках целочисленного дифференцирования кажутся независимыми. Например, тот факт, что для единственности решения задачи Коши уравнения теплопроводности есть ограничения на рост решения, а в случае волнового уравнения —нет, видится более согласованным: соответствующее условие диффузионно-волнового уравнения порядка а2 ограничивающая рост решения функция стремится к бесконечности.